Question

多项式的系数均为实数，且 $c_{2004} \ne 0$ 。它有 $2004$ 个不同的复数零点 $z_k = a_k + b_k i$ ，其中 $1 \le k \le 2004$ ， $a_k$ 和 $b_k$ 均为实数， $a_1 = b_1 = 0$ ，并且下列哪个量可能是非零数？ $\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}$ $\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.$

A polynomial $\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}$ has real coefficients with $c_{2004} \ne 0$ and $2004$ distinct complex zeros $z_k = a_k + b_k i,$ $1 \le k \le 2004$ with $a_k$ and $b_k$ real, $a_1 = b_1 = 0,$ and $\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.$ Which of the following quantities can be a nonzero number?

$c_0$

$c_{2003}$

$b_2 b_3 \ldots b_{2004}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} a_k$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} c_k$

答案：E

知识点：复数韦达定理多项式

难度评级：2350

解答：

因为 $z_1 = a_1 + b_1 i = 0$ 是根，所以 $c_0 = P(0) = 0$ 。

非实零点成共轭对出现，所以 $\sum b_k = 0$ 而题设于是强制 $\sum a_k = 0$ 。系数 $c_{2003}$ 等于 $-c_{2004}$ 乘以根之和 $\sum a_k + i \sum b_k = 0$ ，所以 $c_{2003} = 0$ 。

因为次数为偶数， $z_2, \ldots, z_{2004}$ 中至少有一个实根，使得某个 $b_k = 0$ ，所以 $b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0$ 。因此 (A) 到 (D) 都必须为 $0$ 。

另一方面， $\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1)$ 。一个有效多项式例如 $P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots$ $\cdot (x - 2003)$ $\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)$ 满足 $P(1) \ne 0$ ，所以只有 $\sum c_k$ 可能非零。

所以正确答案是 E。

Since $z_1 = a_1 + b_1 i = 0$ is a root, $c_0 = P(0) = 0.$

The nonreal zeros occur in conjugate pairs, so $\sum b_k = 0,$ and the hypothesis then forces $\sum a_k = 0.$ The coefficient $c_{2003}$ equals $-c_{2004}$ times the sum of the roots $\sum a_k + i \sum b_k = 0,$ so $c_{2003} = 0.$

Because the degree is even, at least one of $z_2, \ldots, z_{2004}$ is real, making one $b_k = 0,$ so $b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0.$ Thus (A) through (D) all must be $0.$

On the other hand, $\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1),$ and a valid polynomial such as $P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots$ $\cdot (x - 2003)$ $\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)$ has $P(1) \ne 0.$ So only $\sum c_k$ can be nonzero.

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A 第 23 题

答案：E

难度评级：2350

解答：

其他年份的第 23 题