Question

独立随机地选取 $0$ 和 $1$ 之间的数 $a$ 与 $b$ ，并令 $c$ 为它们的和。将 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 分别四舍五入到最接近的整数，所得结果为 $A$ ， $B$ ，和 $C$ 。 $A + B = C$ 的概率是多少？

Select numbers $a$ and $b$ between $0$ and $1$ independently and at random, and let $c$ be their sum. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the results when $a,$ $b,$ and $c,$ respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that $A + B = C?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

答案：E

知识点：几何概率分类讨论

难度评级：1990

解答：

将选择表示为单位正方形中的点 $(a, b)$ 。 $a$ 和 $b$ 小于 $\tfrac12$ 时四舍五入为 $0$ ，否则四舍五入为 $1$ ；而 $c = a + b$ 的分界点为 $\tfrac12$ 和 $\tfrac32$ 。

等式 $a, b \lt \tfrac12$ 在以下区域成立：若 $a + b \ge \tfrac12$ 则 $\tfrac18$ ；若 $a, b$ 中恰有一个至少为 $\tfrac12$ ，且 $a + b \lt \tfrac32$ 则那个变量四舍五入为 $a, b \ge \tfrac12$ ；若 $\tfrac18$ 则且。

这些区域由两个面积为 $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14$ 的角落三角形和两个中央条带组成，合计面积为 $1 - \tfrac14 = \tfrac34$ 。因为正方形面积为，所以概率为。

所以正确答案是 E。

Represent the choices as a point $(a, b)$ in the unit square. Each of $a$ and $b$ rounds to $0$ if below $\tfrac12$ and to $1$ otherwise, while $c = a + b$ rounds based on $\tfrac12$ and $\tfrac32.$

The equation fails in exactly two regions. If $a, b \lt \tfrac12,$ it fails when $a + b \ge \tfrac12;$ this is a right triangle of area $\tfrac18.$ If $a, b \ge \tfrac12,$ it fails when $a + b \lt \tfrac32;$ this is another right triangle of area $\tfrac18.$ When exactly one of $a, b$ is at least $\tfrac12,$ the equation always holds.

Thus the failure probability is $\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,$ so the requested probability is $1 - \tfrac14 = \tfrac34.$

Thus, the correct answer is E.

2004 AMC 12A 第 20 题

答案：E

难度评级：1990

解答：

其他年份的第 20 题