1999 AMC 12 第 23 题

Question

等角凸六边形

ABCDEF

满足

AB = 1

、

BC = 4

、

CD = 2

、

DE = 4

。该六边形面积为

The equiangular convex hexagon

ABCDEF

has

AB = 1,

BC = 4,

CD = 2,

and

DE = 4.

The area of the hexagon is

\dfrac{15}{2}\sqrt{3}

9\sqrt{3}

16

\dfrac{39}{4}\sqrt{3}

\dfrac{43}{4}\sqrt{3}

答案：E

知识点：等角多边形等边三角形面积分割

难度评级：1980

小提示：

延长交替的边，将六边形包在一个大等边三角形中。

Extend alternate sides to enclose the hexagon in a large equilateral triangle

大提示：

从大等边三角形中减去三个小等边角三角形。

Subtract three small equilateral corner triangles from the large one

解答：

等角六边形的每个内角为

120^\circ

。延长边

FA

与

BC

、

BC

与

DE

、

DE

与

FA

，会形成一个大等边三角形，并切去三个等边小角三角形。

设

EF=e

，

FA=f

。把六条边按彼此相差

60^\circ

的方向分解，可得

f-e=4

和

e+f=6

，所以

e=1

，

f=5

。于是建立在

AB, CD

和

EF

上的角三角形都是等边三角形。大三角形的边长为

1+4+2=7

，而被切去的三角形边长分别为

1,2

和

1

。所以面积为

\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

Each interior angle is

120^\circ,

so extending sides

FA

and

BC,

BC

and

DE,

and

DE

and

FA

cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let

EF=e

and

FA=f.

Resolving the six sides in directions separated by

60^\circ

gives

f-e=4

and

e+f=6,

so

e=1

and

f=5.

The corner triangles built on

AB, CD,

and

EF

are therefore equilateral. The large triangle has side

1+4+2=7,

while the removed triangles have sides

1,2,

and

1.

The area is

\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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