Question

等角凸六边形 $ABCDEF$ 满足 $AB = 1$ 、 $BC = 4$ 、 $CD = 2$ 、 $DE = 4$ 。该六边形面积为

The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ and $DE = 4.$ The area of the hexagon is

$\dfrac{15}{2}\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

$16$

$\dfrac{39}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{43}{4}\sqrt{3}$

答案：E

知识点：等角多边形等边三角形面积分割

难度评级：1980

解答：

等角六边形的每个内角为 $120^\circ$ 。延长边 $FA$ 与 $BC$ 、 $BC$ 与 $DE$ 、 $DE$ 与 $FA$ ，会形成一个大等边三角形，并切去三个等边小角三角形。

建立在 $AB, CD$ 和 $EF$ 上的小三角形为等边三角形。大等边三角形边长为 $EF=e$ ，被减去的小等边三角形边长为 $FA=f$ 和 $1$ ，所以六边形面积为 $60^\circ$ $f-e=4$ $e+f=6$ ， $e=1$ $f=5$ 。 $1+4+2=7$ ， $1,2$ ， $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Each interior angle is $120^\circ,$ so extending sides $FA$ and $BC,$ $BC$ and $DE,$ and $DE$ and $FA$ cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let $EF=e$ and $FA=f.$ Resolving the six sides in directions separated by $60^\circ$ gives $f-e=4$ and $e+f=6,$ so $e=1$ and $f=5.$ The corner triangles built on $AB, CD,$ and $EF$ are therefore equilateral. The large triangle has side $1+4+2=7,$ while the removed triangles have sides $1,2,$ and $1.$ The area is $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1980

解答：

其他年份的第 23 题