1994 AMC 12 第 18 题

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18.

三角形

ABC

内接于一个圆，且

\angle B=\angle C=4\angle A

。若

B

和

C

是该圆内接正

n

边形的相邻顶点，则

n=

Triangle

ABC

is inscribed in a circle, and

\angle B=\angle C=4\angle A.

If

B

and

C

are adjacent vertices of a regular polygon of

n

sides inscribed in this circle, then

n=

5

7

9

15

18

答案：C

知识点：inscribed angles regular polygons

难度评级：1800

小提示：

利用三角形内角和求

\angle A

Use the triangle angle sum to find

\angle A

大提示：

弦

\overline{BC}

所对的圆心角是

\angle A

的两倍

The central angle subtending

\overline{BC}

is twice

\angle A

解答：

由内角和得

9\angle A=180^\circ

，所以

\angle A=20^\circ

。因此弦

\overline{BC}

所对的圆心角为

40^\circ

。正

n

边形的相邻顶点所对圆心角为

\frac{360^\circ}{n}

，所以

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ\text{，}

从而

n=9

。因此正确答案是 C。

The angle sum gives

9\angle A=180^\circ,

so

\angle A=20^\circ.

The central angle subtending chord

\overline{BC}

is therefore

40^\circ.

Adjacent vertices of a regular

n

-gon subtend

\frac{360^\circ}{n},

so

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,

and

n=9.

Thus the correct answer is C.

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