1992 AMC 12 第 16 题

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16.

若三个互不相同的正数

x

、

y

和

z

满足

\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}

则

\frac{x}{y}=

If

\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}

for three positive numbers

x,

y,

and

z,

all different, then

\frac{x}{y}=

\frac12

\frac35

\frac23

\frac53

2

答案：E

知识点：proportion algebraic system quadratic equation

难度评级：2000

小提示：

令

r=\frac{x}{y}

，用中间的比值表示

\frac{z}{y}

Let

r=\frac{x}{y}

and express

\frac{z}{y}

using the middle ratio

大提示：

将

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}

代入第一个比值

Substitute

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}

into the first ratio

解答：

令

r=\frac{x}{y}\gt0

。由

\frac{x+y}{z}=r

得

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}

。于是

\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r\text{。}

所以

r^2-r-1=1

，即

r^2-r-2=0

。因此

r=2

或

-1

，由正值条件得

r=2

。

因此正确答案是 E。

Let

r=\frac{x}{y}\gt0.

From

\frac{x+y}{z}=r,

we get

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.

Then

\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.

Thus

r^2-r-1=1,

or

r^2-r-2=0.

Hence

r=2

or

-1,

and positivity gives

r=2.

Thus the correct answer is E.

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