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1991 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

图像 GG 的方程为 y=log⁡10xy=\log_{10}x。将它绕原点逆时针旋转 90∘90^\circ，得到新图像 G′G'。下列哪一个是 G′G' 的方程？

The graph, G,G, of y=log⁡10xy=\log_{10}x is rotated 90∘90^\circ counter-clockwise about the origin to obtain a new graph G′.G'. Which of the following is an equation for G′?G'?

y=log⁡10(x+909)y=\log_{10}\left(\frac{x+90}{9}\right)

y=log⁡x10y=\log_x10

y=1x+1y=\frac1{x+1}

y=10−xy=10^{-x}

y=10xy=10^x

答案：D
知识点：graph transformationrotation对数exponential
难度评级：1710
小提示：

逆时针旋转 90∘90^\circ 把 (x,y)(x,y) 映到 (−y,x)(-y,x)

A 90∘90^\circ counter-clockwise rotation sends (x,y)(x,y) to (−y,x)(-y,x)

大提示：

重新命名旋转后的坐标，并由对数关系解出新的 yy

Rename the rotated coordinates and solve the logarithmic relation for the new yy

解答：

点 (u,log⁡10u)(u,\log_{10}u) 旋转后变为 (x,y)=(−log⁡10u,u)。 (x,y)=(-\log_{10}u,u)\text{。}因此 x=−log⁡10yx=-\log_{10}y，所以 log⁡10y=−x\log_{10}y=-x，且 y=10−xy=10^{-x}。

因此正确答案为 D。

A point (u,log⁡10u)(u,\log_{10}u) rotates to (x,y)=(−log⁡10u,u). (x,y)=(-\log_{10}u,u). Hence x=−log⁡10y,x=-\log_{10}y, so log⁡10y=−x\log_{10}y=-x and y=10−x.y=10^{-x}.

Thus the correct answer is D.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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