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1969 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

将自然数 PP 与 P′P'（其中 P>P′P\gt P'）分别除以自然数 DD，余数分别为 RR 与 R′R'。将 PP′PP' 与 RR′RR' 分别除以 DD，余数分别为 rr 与 r′r'。则：

When the natural numbers PP and P′,P', with P>P′,P\gt P', are divided by the natural number D,D, the remainders are RR and R′,R', respectively. When PP′PP' and RR′RR' are divided by D,D, the remainders are rr and r′,r', respectively. Then:

r>r′r\gt r' 恒成立

r>r′r\gt r' always

r<r′r\lt r' 恒成立

r<r′r\lt r' always

有时 r>r′r\gt r'，有时 r<r′r\lt r'

r>r′r\gt r' sometimes, and r<r′r\lt r' sometimes

有时 r>r′r\gt r'，有时 r=r′r=r'

r>r′r\gt r' sometimes, and r=r′r=r' sometimes

r=r′r=r' 恒成立

r=r′r=r' always

答案：E
知识点：模运算
难度评级：1670
小提示：

写出 P≡R(modD)P\equiv R\pmod D 与 P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

Write P≡R(modD)P\equiv R\pmod D and P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

大提示：

将两个同余式相乘

Multiply the two congruences

解答：

根据余数的定义， P≡R(modD),P′≡R′(modD)。 \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D \end{aligned}\text{。}两式相乘，得 PP′≡RR′(modD)PP'\equiv RR'\pmod D。由于每个数都有介于 00 与 D−1D-1 之间的唯一余数，所以二者的余数必相等：r=r′r=r'。

所以正确答案是 E。

By definition of the remainders, P≡R(modD),P′≡R′(modD). \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned} Multiplying gives PP′≡RR′(modD).PP'\equiv RR'\pmod D. Since each has a unique remainder between 00 and D−1,D-1, their remainders must be equal: r=r′.r=r'.

Therefore, the correct answer is E.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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