2025 AMC 12B Problema 9

Question

¿Cuál es el dígito de las decenas de

6^{6^6}

?

What is the tens digit of

6^{6^6}?

1

3

5

7

9

El dígito de las decenas está determinado por

6^{6^6} \bmod 100

.

The tens digit is determined by

6^{6^6} \bmod 100

Para

n \ge 2,

6^n \bmod 100

tiene ciclo de periodo

5;

reduce el exponente

6^6

módulo

5

.

For

n \ge 2,

6^n \bmod 100

cycles with period

5;

reduce the exponent

6^6

modulo

5

Aquí

6^6 = 46656.

Para

n \ge 2,

los dos últimos dígitos de

6^n

se repiten con periodo

5

recorriendo

36, 16, 96, 76, 56.

Como

46656 \equiv 1 \pmod 5,

6^{46656}

termina en

56,

así que el dígito de las decenas es

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here

6^6 = 46656.

For

n \ge 2,

the last two digits of

6^n

cycle with period

5

through

36, 16, 96, 76, 56.

Since

46656 \equiv 1 \pmod 5,

6^{46656}

ends in

56,

so the tens digit is

5.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 9 en otros años