2024 AMC 12B Problema 16

Question

Un grupo de

16

personas se dividirá en

4

comités indistinguibles de

4

personas. Cada comité tendrá un presidente y un secretario. El número de maneras distintas de hacer estas asignaciones puede escribirse como

3^r M,

donde

r

y

M

son enteros positivos y

M

no es divisible entre

3.

¿Cuánto vale

r

?

A group of

16

people will be partitioned into

4

indistinguishable

4

-person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as

3^r M,

where

r

and

M

are positive integers and

M

is not divisible by

3.

What is

r?

5

6

7

8

9

Respuesta: A

Conceptos:principio de multiplicación Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

El número de asignaciones es

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4,

donde cada comité aporta

4 \cdot 3 = 12

elecciones de presidente y secretario.

The number of assignments is

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4,

where each committee contributes

4 \cdot 3 = 12

chair-and-secretary choices

Pista grande:

Sigue solo las potencias de

3:

16!

da

3^6,

el denominador

(4!)^4\,4!

da

3^5,

y

12^4

da

3^4

Track only powers of

3:

16!

gives

3^6,

the denominator

(4!)^4\,4!

gives

3^5,

and

12^4

gives

3^4

Solución:

El número de maneras de dividir

16

personas en

4

grupos indistinguibles de

4

es

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.

Cada comité elige luego un presidente y un secretario de

4 \cdot 3 = 12

maneras, aportando

12^4.

Así que el total es

\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.

Contando los factores de

3:

16!

aporta

\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6.

El denominador

(4!)^4\,4!

aporta

4 + 1 = 5.

Y

12^4 = (2^2\cdot 3)^4

aporta

4.

Así

r = 6 - 5 + 4 = 5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The number of ways to split

16

people into

4

indistinguishable groups of

4

is

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.

Each committee then chooses a chairperson and a secretary in

4 \cdot 3 = 12

ways, contributing

12^4.

So the total is

\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.

Counting factors of

3:

16!

contributes

\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6.

The denominator

(4!)^4\,4!

contributes

4 + 1 = 5.

And

12^4 = (2^2\cdot 3)^4

contributes

4.

Thus

r = 6 - 5 + 4 = 5.

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B Problema 16

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años