2024 AMC 12A Problema 9

Question

Sea

M

el mayor entero tal que tanto

M+1213

como

M+3773

sean cuadrados perfectos. ¿Cuál es la cifra de las unidades de

M

?

Let

M

be the greatest integer such that both

M+1213

and

M+3773

are perfect squares. What is the units digit of

M?

1

2

3

6

8

Respuesta: E

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto optimización

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Sea

M+1213=a^2

y

M+3773=b^2;

resta para obtener

b^2-a^2=2560

Let

M+1213=a^2

and

M+3773=b^2;

subtract to get

b^2-a^2=2560

Pista grande:

(b-a)(b+a)=2560

con ambos factores pares; para maximizar

M,

haz

b-a

lo más pequeño posible

(b-a)(b+a)=2560

with both factors even; to maximize

M,

make

b-a

as small as possible

Solución:

Escribimos

M+1213=a^2

y

M+3773=b^2,

así que

b^2-a^2=2560,

es decir

(b-a)(b+a)=2560.

Ambos factores tienen la misma paridad, por lo que ambos son pares. Para maximizar

a

(y por tanto

M

), minimizamos

b-a:

tomamos

b-a=2,\ b+a=1280,

así que

a=639.

Entonces

M=639^2-1213

=408321-1213

=407108,

cuya cifra de las unidades es

8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write

M+1213=a^2

and

M+3773=b^2,

so

b^2-a^2=2560,

i.e.

(b-a)(b+a)=2560.

Both factors have the same parity, hence both even. To maximize

a

(and thus

M

), minimize

b-a:

take

b-a=2,\ b+a=1280,

so

a=639.

Then

M=639^2-1213

=408321-1213

=407108,

whose units digit is

8.

Thus, the correct answer is E.