2024 AMC 12A Problema 24

Question

Un disfenoide es un tetraedro cuyas caras triangulares son congruentes entre sí. ¿Cuál es el área total de superficie mínima de un disfenoide cuyas caras son triángulos escalenos con lados de longitud entera?

A disphenoid is a tetrahedron whose triangular faces are congruent to one another. What is the least total surface area of a disphenoid whose faces are scalene triangles with integer side lengths?

\sqrt3

3\sqrt{15}

15

15\sqrt7

24\sqrt6

Respuesta: D

Conceptos:Geometría 3D Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Un disfenoide puede construirse a partir de un triángulo exactamente cuando ese triángulo es acutángulo; su superficie consta de

4

caras

A disphenoid can be built from a triangle exactly when that triangle is acute; its surface is

4

faces

Pista grande:

Busca el triángulo escaleno acutángulo de lados enteros con menor área;

(3,4,5)

es rectángulo, así que prueba

(4,5,6)

Seek the smallest-area acute scalene integer triangle;

(3,4,5)

is right, so try

(4,5,6)

Solución:

Un disfenoide existe (como el tetraedro formado por los centros de las caras de una caja) exactamente cuando el triángulo común de las caras es acutángulo, y su área total de superficie es

4

veces el área de una cara. Escribamos las longitudes enteras de los lados como

u\lt v\lt w.

Si

u\le3,

entonces

w\ge v+1

y

u^2+v^2\le(v+1)^2

(con igualdad solo para

(u,v,w)=(3,4,5)

), así que el triángulo no es acutángulo. Por tanto

u\ge4.

El triángulo

(4,5,6)

es acutángulo porque

4^2+5^2\gt6^2.

Además, es el de menor área posible. El mayor ángulo de cualquier triángulo acutángulo mide al menos

60^\circ,

así que un candidato con

(u,v)\ne(4,5)

tiene área al menos

\tfrac12uv\sin60^\circ

\ge\tfrac12(4)(6)\tfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,

que es mayor que

\tfrac{15\sqrt7}{4},

el área de

(4,5,6).

Por la fórmula de Herón con

s=\tfrac{15}2,

esa área es

\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.

El área total de superficie es

4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A disphenoid exists (as the tetrahedron formed by the face-plane midpoints of a box) exactly when the common face triangle is acute, and its total surface area is

4

times one face’s area. Write the integer side lengths as

u\lt v\lt w.

If

u\le3,

then

w\ge v+1

and

u^2+v^2\le(v+1)^2

(with equality only for

(u,v,w)=(3,4,5)

), so the triangle is not acute. Thus

u\ge4.

The triangle

(4,5,6)

is acute because

4^2+5^2\gt6^2.

It also has the least possible area. The largest angle of any acute triangle is at least

60^\circ,

so a candidate with

(u,v)\ne(4,5)

has area at least

\tfrac12uv\sin60^\circ

\ge\tfrac12(4)(6)\tfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,

which is greater than

\tfrac{15\sqrt7}{4},

the area of

(4,5,6).

By Heron’s formula with

s=\tfrac{15}2,

that area is

\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.

The total surface area is

4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.

Thus, the correct answer is D.