Question

Un disfenoide es un tetraedro cuyas caras triangulares son congruentes entre sí. ¿Cuál es el área total de superficie mínima de un disfenoide cuyas caras son triángulos escalenos con lados de longitud entera?

A disphenoid is a tetrahedron whose triangular faces are congruent to one another. What is the least total surface area of a disphenoid whose faces are scalene triangles with integer side lengths?

$\sqrt3$

$3\sqrt{15}$

$15$

$15\sqrt7$

$24\sqrt6$

Respuesta: D

Conceptos:Geometría 3D Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

$4$ $u\lt v\lt w.$ $u\le3,$ $w\ge v+1$ $u^2+v^2\le(v+1)^2$ $(u,v,w)=(3,4,5)$ $u\ge4.$

Un disfenoide existe (como el tetraedro formado por los centros de las caras de una caja) exactamente cuando el triángulo común de las caras es acutángulo, y su área total de superficie es $(4,5,6)$ veces el área de una cara. $4^2+5^2\gt6^2.$ $60^\circ,$ $(u,v)\ne(4,5)$ $\tfrac12uv\sin60^\circ$ $\ge\tfrac12(4)(6)\tfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,$ $\tfrac{15\sqrt7}{4},$ $(4,5,6).$

Queremos el triángulo escaleno acutángulo de lados enteros con menor área. $s=\tfrac{15}2,$ $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$

Los candidatos y son obtusángulos, y es rectángulo (lo que da una figura plana degenerada), pero es acutángulo ya que Por Herón con su área es El área total de superficie es Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A disphenoid exists (as the tetrahedron formed by the face-plane midpoints of a box) exactly when the common face triangle is acute, and its total surface area is $4$ times one face's area. Write the integer side lengths as $u\lt v\lt w.$ If $u\le3,$ then $w\ge v+1$ and $u^2+v^2\le(v+1)^2$ (with equality only for $(u,v,w)=(3,4,5)$ ), so the triangle is not acute. Thus $u\ge4.$

The triangle $(4,5,6)$ is acute because $4^2+5^2\gt6^2.$ It also has the least possible area. The largest angle of any acute triangle is at least $60^\circ,$ so a candidate with $(u,v)\ne(4,5)$ has area at least $\tfrac12uv\sin60^\circ$ $\ge\tfrac12(4)(6)\tfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,$ which is greater than $\tfrac{15\sqrt7}{4},$ the area of $(4,5,6).$

By Heron's formula with $s=\tfrac{15}2,$ that area is $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ The total surface area is $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 24 en otros años