2024 AMC 12A Problema 19

Question

El cuadrilátero cíclico

ABCD

tiene lados

BC=CD=3

y

DA=5

con

\angle CDA=120^\circ.

¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de

ABCD

?

Cyclic quadrilateral

ABCD

has lengths

BC=CD=3

and

DA=5

with

\angle CDA=120^\circ.

What is the length of the shorter diagonal of

ABCD?

\dfrac{31}{7}

\dfrac{33}{7}

5

\dfrac{39}{7}

\dfrac{41}{7}

Respuesta: D

Conceptos:cuadrilátero cíclico ley de los cosenos Teorema de Ptolomeo

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

En

\triangle ACD,

AC^2=3^2+5^2

-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ

In

\triangle ACD,

AC^2=3^2+5^2

-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ

Pista grande:

Halla

AB

usando

\angle ABC=60^\circ,

luego aplica Ptolomeo:

AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

Find

AB

using

\angle ABC=60^\circ,

then apply Ptolemy:

AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

Solución:

En

\triangle ACD,

la ley de cosenos da

AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ

=34+15=49,

así que

AC=7.

Como

ABCD

es cíclico,

\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.

En

\triangle ABC

con

BC=3

y

AC=7,

la ley de cosenos da

49=AB^2+9-3AB,

así que

AB=8.

Por Ptolomeo,

AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

=8\cdot3+3\cdot5=39,

de donde

BD=\tfrac{39}{7}.

Esto es más corto que

AC=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In

\triangle ACD,

the law of cosines gives

AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ

=34+15=49,

so

AC=7.

Since

ABCD

is cyclic,

\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.

In

\triangle ABC

with

BC=3

and

AC=7,

the law of cosines gives

49=AB^2+9-3AB,

so

AB=8.

By Ptolemy,

AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

=8\cdot3+3\cdot5=39,

hence

BD=\tfrac{39}{7}.

This is shorter than

AC=7.

Thus, the correct answer is D.