2023 AMC 12B Problema 24

Question

Supón que

a,

b,

c,

y

d

son enteros positivos que satisfacen todas las siguientes relaciones.

\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}

¿Cuánto vale

\gcd(a,b,c,d)

?

Suppose that

a,

b,

c,

and

d

are positive integers satisfying all of the following relations.

\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}

What is

\gcd(a,b,c,d)?

30

45

3

15

6

Respuesta: C

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Trabaja un primo a la vez;

\gcd

usa el exponente mínimo y

\operatorname{lcm}

el máximo

Work one prime at a time;

\gcd

uses the minimum exponent and

\operatorname{lcm}

the maximum

Pista grande:

Para cada primo, determina los cuatro exponentes a partir de las condiciones del máximo (lcm) y del total (producto), luego toma el mínimo

For each prime, pin down the four exponents from the max (lcm) and total (product) conditions, then take the minimum

Solución:

Trata cada primo por separado usando los exponentes de

a,b,c,d.

Primo $2$ (total

6

):

\max(b,c)=1

obliga a

a=3;

luego

b+c+d=3

con

\max(b,d)=\max(c,d)=2

da

d=2

y

\{b,c\}=\{0,1\},

así que el exponente mínimo es

0.

Primo $3$ (total

9

):

\max(a,b)=2

con los demás lcm iguales a

3

obliga a

c=d=3;

luego

a+b=3

con

\max(a,b)=2

da

\{a,b\}=\{1,2\},

así que el mínimo es

1.

Primo $5$ (total

7

):

\max(a,b)=3

con

\max(b,c),

\max(b,d),\max(c,d)=2

obliga a

a=3;

luego

b+c+d=4

con cada uno

\le 2

y máximos por pares

2

da dos de ellos iguales a

2

y uno igual a

0,

así que el mínimo es

0.

Por lo tanto

\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Handle each prime separately using the exponents of

a,b,c,d.

Prime $2$ (total

6

):

\max(b,c)=1

forces

a=3;

then

b+c+d=3

with

\max(b,d)=\max(c,d)=2

gives

d=2

and

\{b,c\}=\{0,1\},

so the minimum exponent is

0.

Prime $3$ (total

9

):

\max(a,b)=2

with the other lcms equal to

3

forces

c=d=3;

then

a+b=3

with

\max(a,b)=2

gives

\{a,b\}=\{1,2\},

so the minimum is

1.

Prime $5$ (total

7

):

\max(a,b)=3

with

\max(b,c),

\max(b,d),\max(c,d)=2

forces

a=3;

then

b+c+d=4

with each

\le 2

and pairwise maxima

2

gives two of them equal to

2

and one equal to

0,

so the minimum is

0.

Therefore

\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12B Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años