2023 AMC 12B Problema 22

Question

Una función de valores reales

f

tiene la propiedad de que para todos los números reales

a

y

b,

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}

¿Cuál de los siguientes no puede ser el valor de

f(1)

?

A real-valued function

f

has the property that for all real numbers

a

and

b,

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}

Which one of the following cannot be the value of

f(1)?

0

1

-1

2

-2

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Haz

a=b=0

para determinar

f(0),

luego haz

a=b

para relacionar

f(2a)

con

f(a)

Set

a=b=0

to pin down

f(0),

then set

a=b

to relate

f(2a)

to

f(a)

Pista grande:

A partir de

a=b,

f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1;

tomando

a=\tfrac12

se acota

f(1)

por abajo

From

a=b,

f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1;

taking

a=\tfrac12

bounds

f(1)

from below

Solución:

Haciendo

a=b=0

se obtiene

2f(0)=2f(0)^2,

así que

f(0)=0

o

f(0)=1.

Si

f(0)=0,

entonces haciendo

b=0

se obliga a

f\equiv 0,

lo que da

f(1)=0.

En caso contrario

f(0)=1,

y haciendo

a=b

se obtiene

f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1

para todo

a.

En particular, con

a=\tfrac12,

f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.

Así que

f(1)\ge -1,

y de hecho todo valor en

[-1,\infty)

es alcanzable (por ejemplo

f(x)=\cos(kx)

o

\cosh(kx)

). Por lo tanto

-2

es imposible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Setting

a=b=0

gives

2f(0)=2f(0)^2,

so

f(0)=0

or

f(0)=1.

If

f(0)=0,

then setting

b=0

forces

f\equiv 0,

giving

f(1)=0.

Otherwise

f(0)=1,

and setting

a=b

gives

f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1

for every

a.

In particular, with

a=\tfrac12,

f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.

So

f(1)\ge -1,

and indeed every value in

[-1,\infty)

is attainable (e.g.

f(x)=\cos(kx)

or

\cosh(kx)

). Hence

-2

is impossible.

Thus, the correct answer is E.