2023 AMC 12A Problema 22

Question

Sea

f

la única función definida sobre los enteros positivos tal que

\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1

para todo entero positivo

n,

donde la suma se toma sobre todos los divisores positivos de

n.

¿Cuánto vale

f(2023)

?

Let

f

be the unique function defined on the positive integers such that

\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1

for all positive integers

n,

where the sum is taken over all positive divisors of

n.

What is

f(2023)?

-1536

96

108

116

144

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos recursión

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La relación determina

f

de forma recursiva;

f

resulta ser multiplicativa

The relation determines

f

recursively;

f

turns out to be multiplicative

Pista grande:

Calcula

f(1)=1,

f(p)=1-p,

y

f(p^2)=1-p;

aquí

2023=7\cdot 17^2

Compute

f(1)=1,

f(p)=1-p,

and

f(p^2)=1-p;

here

2023=7\cdot 17^2

Solución:

Poner

n=1

da

f(1)=1.

Para un primo

p,

n=p

da

f(p)+p\cdot f(1)=1,

así que

f(p)=1-p.

Para

n=p^2,

f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1

da

f(p^2)=1-p.

Como la relación que la define es una convolución de Dirichlet de funciones multiplicativas,

f

es multiplicativa. Con

2023=7\cdot 17^2,

\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting

n=1

gives

f(1)=1.

For a prime

p,

n=p

gives

f(p)+p\cdot f(1)=1,

so

f(p)=1-p.

For

n=p^2,

f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1

gives

f(p^2)=1-p.

Since the defining relation is a Dirichlet convolution of multiplicative functions,

f

is multiplicative. With

2023=7\cdot 17^2,

\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años