2022 AMC 12B Problema 19

Question

En

\triangle ABC

las medianas

\overline{AD}

y

\overline{BE}

se cortan en

G

y

\triangle AGE

es equilátero. Entonces

\cos(C)

se puede escribir como

\dfrac{m\sqrt p}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí y

p

es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale

m + n + p

?

In

\triangle ABC

medians

\overline{AD}

and

\overline{BE}

intersect at

G

and

\triangle AGE

is equilateral. Then

\cos(C)

can be written as

\dfrac{m\sqrt p}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers and

p

is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is

m + n + p?

44

48

52

56

60

Respuesta: A

Conceptos:mediana (geometría)baricentro ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

El baricentro divide

AD

de modo que

AG = \tfrac23 AD,

y

GE = \tfrac13 BE;

además

AE = \tfrac12 AC

.

The centroid splits

AD

so

AG = \tfrac23 AD,

and

GE = \tfrac13 BE;

also

AE = \tfrac12 AC

Pista grande:

Iguala las tres y usa la fórmula de la longitud de la mediana para relacionar los lados, y luego aplica la ley de los cosenos.

Set all three equal and use the median-length formula to relate the sides, then apply the law of cosines

Solución:

Sea

a = BC,

b = CA,

c = AB.

Como

E

es el punto medio de

AC,

AE = \tfrac{b}{2}.

El baricentro da

AG = \tfrac23 m_a

y

GE = \tfrac13 m_b,

donde

m_a, m_b

son las medianas desde

A

y

B.

Que

\triangle AGE

sea equilátero significa

AG = GE = AE.

De

\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}

obtenemos

m_a = \tfrac34 b,

que junto con

m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}

da

2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.

De

\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}

obtenemos

m_b = \tfrac32 b,

lo que da

a^2 + c^2 = 5b^2.

Resolviendo,

c^2 = \tfrac{7b^2}{4}

y

a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.

Tomando

b = 2

se obtiene

a^2 = 13,

c^2 = 7,

así que

\begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}

Entonces

m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

a = BC,

b = CA,

c = AB.

Since

E

is the midpoint of

AC,

AE = \tfrac{b}{2}.

The centroid gives

AG = \tfrac23 m_a

and

GE = \tfrac13 m_b,

where

m_a, m_b

are the medians from

A

and

B.

Equilateral

\triangle AGE

means

AG = GE = AE.

From

\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}

we get

m_a = \tfrac34 b,

which with

m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}

gives

2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.

From

\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}

we get

m_b = \tfrac32 b,

giving

a^2 + c^2 = 5b^2.

Solving,

c^2 = \tfrac{7b^2}{4}

and

a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.

Taking

b = 2