2021 AMC 12B Fall Problema 9

Question

El triángulo

ABC

es equilátero con longitud de lado

6.

Supongamos que

O

es el centro del círculo inscrito de este triángulo. ¿Cuál es el área del círculo que pasa por

A,

O,

y

C

?

Triangle

ABC

is equilateral with side length

6.

Suppose that

O

is the center of the inscribed circle of this triangle. What is the area of the circle passing through

A,

O,

and

C?

9\pi

12\pi

18\pi

24\pi

27\pi

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ley de los senos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

En un triángulo equilátero el incentro coincide con el circuncentro.

In an equilateral triangle the incenter coincides with the circumcenter

Pista grande:

En el triángulo

AOC,

el ángulo

AOC = 120^\circ

y

AC = 6

; aplica la ley de los senos

In triangle

AOC,

angle

AOC = 120^\circ

and

AC = 6

; apply the law of sines

Solución:

Para un triángulo equilátero,

O

es también el circuncentro, así que

OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.

El ángulo central

\angle AOC = 120^\circ.

En el triángulo

AOC,

el lado

AC = 6

es opuesto al ángulo de

120^\circ

, así que el circunradio

R'

de este triángulo satisface

2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,

lo que da

R' = 2\sqrt3.

El área del círculo es

\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For an equilateral triangle,

O

is also the circumcenter, so

OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.

The central angle

\angle AOC = 120^\circ.

In triangle

AOC,

side

AC = 6

is opposite the

120^\circ

angle, so the circumradius

R'

of this triangle satisfies

2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,

giving

R' = 2\sqrt3.

The area of the circle is

\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.

Thus, the correct answer is B.