2021 AMC 12B Fall Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El triángulo

ABC

tiene lados

AB = 11,

BC = 24,

y

CA = 20.

La bisectriz de

\angle BAC

corta a

\overline{BC}

en el punto

D,

y corta al circuncírculo de

\triangle ABC

en el punto

E \neq A.

El circuncírculo de

\triangle BED

corta a la recta

AB

en los puntos

B

y

F \neq B.

¿Cuánto vale

CF

?

Triangle

ABC

has side lengths

AB = 11,

BC = 24,

and

CA = 20.

The bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{BC}

in point

D,

and intersects the circumcircle of

\triangle ABC

in point

E \neq A.

The circumcircle of

\triangle BED

intersects the line

AB

in points

B

and

F \neq B.

What is

CF?

28

20\sqrt{2}

30

32

20\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:potencia de un punto bisectriz semejanza

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Aplica la potencia del punto

A

al círculo que pasa por

B,

E,

D

:

AB \cdot AF = AD \cdot AE

.

Apply power of the point

A

to the circle through

B,

E,

D

:

AB \cdot AF = AD \cdot AE

Pista grande:

Como

\triangle ABE \sim \triangle ADC,

obtenemos

AD \cdot AE = AB \cdot AC,

así que

AF = AC

.

Because

\triangle ABE \sim \triangle ADC,

we get

AD \cdot AE = AB \cdot AC,

so

AF = AC

Solución:

Los puntos

A,

D,

E

son colineales sobre la bisectriz, y

A,

B,

F

son colineales sobre la recta

AB.

La potencia de

A

respecto al círculo que pasa por

B,

E,

D

da

AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Como

\angle BAE = \angle DAC

y

\angle AEB = \angle ACB

(subtendiendo

AB

), los triángulos

ABE

y

ADC

son semejantes, así que

AD \cdot AE = AB \cdot AC.

Por lo tanto

AF = AC = 20.

Coloca

A = (0, 0),

B = (11, 0).

A partir de

CA = 20,

CB = 24,

el punto

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).

El punto

F

está sobre el rayo

AB

con

AF = 20,

así que

F = (20, 0).

Entonces

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900,

así que

CF = 30.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Points

A,

D,

E

are collinear on the bisector, and

A,

B,

F

are collinear on line

AB.

The power of

A

with respect to the circle through

B,

E,

D

gives

AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Since

\angle BAE = \angle DAC

and

\angle AEB = \angle ACB

(subtending

AB

), triangles

ABE

and

ADC

are similar, so

AD \cdot AE = AB \cdot AC.

Therefore

AF = AC = 20.

Place

A = (0, 0),

B = (11, 0).

From

CA = 20,

CB = 24,

point

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).

Point

F

lies on ray

AB

with

AF = 20,

so

F = (20, 0).

Then

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900,

so

CF = 30.

Thus, the correct answer is C.

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