2021 AMC 12B Fall Problema 22

Question

El triángulo rectángulo

ABC

tiene lados

BC = 6,

AC = 8,

y

AB = 10.

Un círculo con centro en

O

es tangente a la recta

BC

en

B

y pasa por

A.

Un círculo con centro en

P

es tangente a la recta

AC

en

A

y pasa por

B.

¿Cuánto vale

OP

?

Right triangle

ABC

has side lengths

BC = 6,

AC = 8,

and

AB = 10.

A circle centered at

O

is tangent to line

BC

at

B

and passes through

A.

A circle centered at

P

is tangent to line

AC

at

A

and passes through

B.

What is

OP?

\dfrac{23}{8}

\dfrac{29}{10}

\dfrac{35}{12}

\dfrac{73}{25}

3

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica recta tangente fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Coloca

C

en el origen con los catetos a lo largo de los ejes.

Place

C

at the origin with legs along the axes

Pista grande:

El radio en un punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, así que

O

queda directamente encima de

B

y

P

directamente enfrente de

A

.

A tangent point’s radius is perpendicular to the tangent line, so

O

lies directly above

B

and

P

directly across from

A

Solución:

Coloca

C = (0, 0),

B = (6, 0),

y

A = (0, 8),

de modo que el ángulo recto está en

C.

El círculo

O

es tangente a la recta

BC

(

x

-eje) en

B,

así que

O = (6, k).

Al imponer

OA = OB

se obtiene

36 + (k - 8)^2 = k^2,

así que

k = \tfrac{25}{4}

y

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).

El círculo

P

es tangente a la recta

AC

(

y

-eje) en

A,

así que

P = (h, 8).

Al imponer

PB = PA

se obtiene

(h - 6)^2 + 64 = h^2,

así que

h = \tfrac{25}{3}

y

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).

Entonces

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place

C = (0, 0),

B = (6, 0),

and

A = (0, 8),

so the right angle is at

C.

Circle

O

is tangent to line

BC

(the

x

-axis) at

B,

so

O = (6, k).

Setting

OA = OB

gives

36 + (k - 8)^2 = k^2,

so

k = \tfrac{25}{4}

and

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).

Circle

P

is tangent to line

AC

(the

y

-axis) at

A,

so

P = (h, 8).

Setting

PB = PA

gives

(h - 6)^2 + 64 = h^2,

so

h = \tfrac{25}{3}

and

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).

Then

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años