2021 AMC 12A Fall Problema 8

Question

Sea

M

el mínimo común múltiplo de todos los enteros de

10

a

30,

inclusive. Sea

N

el mínimo común múltiplo de

M,

32,

33,

34,

35,

36,

37,

38,

39,

y

40.

¿Cuál es el valor de

\dfrac{N}{M}

?

Let

M

be the least common multiple of all the integers

10

through

30,

inclusive. Let

N

be the least common multiple of

M,

32,

33,

34,

35,

36,

37,

38,

39,

and

40.

What is the value of

\dfrac{N}{M}?

1

2

37

74

2886

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

M

ya contiene

2^4, 3^3, 5^2, 7,

y todos los primos hasta

29;

verifica qué añaden

32

a

40

M

already contains

2^4, 3^3, 5^2, 7,

and all primes up to

29;

check what

32

–

40

add

Pista grande:

32 = 2^5

eleva la potencia de

2,

y

37

es un nuevo primo; nada más es nuevo

32 = 2^5

raises the power of

2,

and

37

is a new prime; nothing else is new

Solución:

M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)

contiene

2^4

(de

16

),

3^3

(de

27

),

5^2

(de

25

),

7,

y todo primo hasta

29.

Entre

32, \ldots, 40,

las únicas contribuciones nuevas son

32 = 2^5,

que eleva la potencia de

2

de

2^4

a

2^5,

y el nuevo primo

37.

Todo lo demás se factoriza en primos y potencias que ya están en

M.

Por lo tanto

\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)

contains

2^4

(from

16

),

3^3

(from

27

),

5^2

(from

25

),

7,

and every prime up to

29.

Among

32, \ldots, 40,

the only new contributions are

32 = 2^5,

which raises the power of

2

from

2^4

to

2^5,

and the new prime

37.

Everything else factors into primes and powers already in

M.

Therefore

\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años