2021 AMC 12A Fall Problema 19

Question

Sea

x

el menor número real mayor que

1

tal que

\sin(x) = \sin(x^2),

donde los argumentos están en grados. ¿Cuánto vale

x

redondeado hacia arriba al entero más cercano?

Let

x

be the least real number greater than

1

such that

\sin(x) = \sin(x^2),

where the arguments are in degrees. What is

x

rounded up to the closest integer?

10

13

14

19

20

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

\sin x = \sin x^2

requiere

x^2 = x + 360k

o

x^2 = 180 - x + 360k

para un entero

k

\sin x = \sin x^2

requires

x^2 = x + 360k

or

x^2 = 180 - x + 360k

for an integer

k

Pista grande:

El menor

x \gt 1

proviene de

x^2 = 180 - x

(con

k = 0

)

The smallest

x \gt 1

comes from

x^2 = 180 - x

(with

k = 0

)

Solución:

Senos iguales requieren

x^2 = x + 360k

o

x^2 = 180 - x + 360k

para algún entero

k.

La familia

x^2 = x + 360k

supera por primera vez

1

en

k = 1,

dando

x \approx 19.5.

La familia

x^2 = 180 - x + 360k

con

k = 0

da

x^2 + x - 180 = 0,

así que

x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,

que es menor.

Redondeado hacia arriba,

x = 13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal sines require

x^2 = x + 360k

or

x^2 = 180 - x + 360k

for some integer

k.

The family

x^2 = x + 360k

first exceeds

1

at

k = 1,

giving

x \approx 19.5.

The family

x^2 = 180 - x + 360k

with

k = 0

gives

x^2 + x - 180 = 0,

so

x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,

which is smaller.

Rounded up,

x = 13.

Thus, the correct answer is B.