2021 AMC 12B Spring Problema 19

Question

Se lanzan dos dados justos, cada uno con al menos

6

caras. En cada cara de cada dado está impreso un entero distinto desde

1

hasta el número de caras de ese dado, inclusive. La probabilidad de obtener una suma de

7

es

\dfrac34

de la probabilidad de obtener una suma de

10,

y la probabilidad de obtener una suma de

12

es

\dfrac{1}{12}.

¿Cuál es el menor número posible de caras de los dos dados combinados?

Two fair dice, each with at least

6

faces are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from

1

to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of

7

is

\dfrac34

of the probability of rolling a sum of

10,

and the probability of rolling a sum of

12

is

\dfrac{1}{12}.

What is the least possible number of faces on the two dice combined?

16

17

18

19

20

Respuesta: B

Conceptos:dados (probabilidad)optimización

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Con al menos

6

caras cada uno, una suma de

7

siempre tiene

6

formas, así que una suma de

10

tiene

8

formas

With at least

6

faces each, a sum of

7

always has

6

ways, so a sum of

10

has

8

ways

Pista grande:

Sean los dados con

a\le b

caras; cuenta los resultados para las sumas

10

y

12

y usa

\text{formas}(12)=\tfrac{ab}{12}

Let the dice have

a\le b

faces; count outcomes for sums

10

and

12

and use

\text{ways}(12)=\tfrac{ab}{12}

Solución:

Sean los dados de

a\le b

caras. Como ambos tienen al menos

6

caras, una suma de

7

se obtiene de exactamente

6

maneras, así que una suma de

10

se obtiene de

6\div\tfrac34=8

maneras.

El número de maneras de obtener

10

es

\min(a,9)

-\max(1,10-b)+1=8.

Una suma de

12

tiene probabilidad

\tfrac{1}{12},

así que se obtiene de

\tfrac{ab}{12}

maneras.

Tener

8

resultados para una suma de

10

exige

a\ge8

y

b\ge9,

de modo que necesariamente

a+b\ge17.

Para

(a,b)=(8,9),

una suma de

10

tiene

8

resultados, mientras que una suma de

12

tiene los

6

resultados en los que el primer dado muestra

3,4,\ldots,8.

Como

\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},

se cumplen ambas condiciones y se alcanza la cota inferior

17

.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the dice have

a\le b

faces. Since both have at least

6

faces, a sum of

7

occurs in exactly

6

ways, so a sum of

10

occurs in

6\div\tfrac34=8

ways.

The number of ways to roll

10

is

\min(a,9)

-\max(1,10-b)+1=8.

A sum of

12

has probability

\tfrac{1}{12},

so it occurs in

\tfrac{ab}{12}

ways.

Having

8

outcomes for a sum of

10

requires

a\ge8

and

b\ge9,

so necessarily

a+b\ge17.

For

(a,b)=(8,9),

a sum of

10

has

8

outcomes, while a sum of

12

has the

6

outcomes with the first die showing

3,4,\ldots,8.

Since

\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},

both conditions hold and the lower bound

17

is attained.

Thus, the correct answer is B.