2020 AMC 12B Problema 19

Question

El cuadrado

ABCD

en el plano de coordenadas tiene vértices en los puntos

A(1, 1),

B(-1, 1),

C(-1, -1),

y

D(1, -1).

Considera las siguientes cuatro transformaciones:

L,

una rotación de

90^\circ

en sentido antihorario alrededor del origen;

R,

una rotación de

90^\circ

en sentido horario alrededor del origen;

H,

una reflexión respecto al eje

x

; y

V,

una reflexión respecto al eje

y

.

Cada una de estas transformaciones mapea el cuadrado sobre sí mismo, pero las posiciones de los vértices etiquetados cambiarán. Por ejemplo, aplicar

R

y luego

V

enviaría el vértice

A

en

(1, 1)

a

(-1, -1)

y enviaría el vértice

B

en

(-1, 1)

a sí mismo. ¿Cuántas secuencias de

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transformaciones elegidas de

\{L, R, H, V\}

enviarán todos los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales? (Por ejemplo,

R,

R,

V,

H

es una secuencia de

4

transformaciones que envía los vértices de vuelta a sus posiciones originales.)

Square

ABCD

in the coordinate plane has vertices at the points

A(1, 1),

B(-1, 1),

C(-1, -1),

and

D(1, -1).

Consider the following four transformations:

L,

a rotation of

90^\circ

counterclockwise around the origin;

R,

a rotation of

90^\circ

clockwise around the origin;

H,

a reflection across the

x

-axis; and

V,

a reflection across the

y

-axis.

Each of these transformations maps the square onto itself, but the positions of the labeled vertices will change. For example, applying

R

and then

V

would send the vertex

A

at

(1, 1)

to

(-1, -1)

and would send the vertex

B

at

(-1, 1)

to itself. How many sequences of

20

transformations chosen from

\{L, R, H, V\}

will send all of the labeled vertices back to their original positions? (For example,

R,

R,

V,

H

is one sequence of

4

transformations that will send the vertices back to their original positions.)

2^{37}

3 \cdot 2^{36}

2^{38}

3 \cdot 2^{37}

2^{39}

Respuesta: C

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Las primeras

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transformaciones pueden ser cualquier cosa; la última queda entonces forzada a ser la inversa única.

The first

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transformations can be anything; the last one is then forced to be the unique inverse

Pista grande:

El último movimiento forzado debe ser una de las cuatro transformaciones permitidas; halla la probabilidad de que lo sea.

The forced last move must be one of the four allowed transformations; find the probability that it is

Solución:

Etiquetemos los vértices

0,1,2,3

cíclicamente. Cada transformación permitida tiene la forma

j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,

donde

\varepsilon\in\{1,-1\}

y

\delta\in\{1,-1\}.

Estas cuatro elecciones dan exactamente los dos giros de un cuarto de vuelta y las dos reflexiones indicadas.

Bajo composición, la paridad de

\delta

cambia en cada paso. Por tanto, una composición de

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transformaciones permitidas vuelve a tener

\delta

impar y es una de las cuatro transformaciones permitidas. Su inversa también está permitida. En consecuencia, cada sucesión de los primeros

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movimientos tiene exactamente una opción para el movimiento final, lo que da

4^{19}=2^{38}

sucesiones exitosas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Label the vertices

0,1,2,3

cyclically. Each allowed transformation has the form

j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,

where

\varepsilon\in\{1,-1\}

and

\delta\in\{1,-1\}.

These four choices give exactly the two quarter-turns and the two stated reflections.

Under composition, the parity of

\delta

changes at every move. Thus a composition of

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allowed transformations again has odd

\delta,

and so is one of the four allowed transformations. Its inverse is also allowed. Consequently every sequence of the first

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moves has exactly one choice for the final move, giving

4^{19}=2^{38}

successful sequences.

Thus, the correct answer is C.