2019 AMC 12A Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Los círculos

\omega

y

\gamma,

ambos con centro en

O,

tienen radios

20

y

17,

respectivamente. El triángulo equilátero

ABC,

cuyo interior está dentro de

\omega

pero fuera de

\gamma,

tiene el vértice

A

sobre

\omega,

y la recta que contiene el lado

BC

es tangente a

\gamma.

Los segmentos

AO

y

BC

se cortan en

P,

y

\dfrac{BP}{CP} = 3.

Entonces

AB

puede escribirse en la forma

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

para enteros positivos

m,

n,

p,

q

con

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.

¿Cuánto vale

m + n + p + q

?

Circles

\omega

and

\gamma,

both centered at

O,

have radii

20

and

17,

respectively. Equilateral triangle

ABC,

whose interior lies in the interior of

\omega

but in the exterior of

\gamma,

has vertex

A

on

\omega,

and the line containing side

BC

is tangent to

\gamma.

Segments

AO

and

BC

intersect at

P,

and

\dfrac{BP}{CP} = 3.

Then

AB

can be written in the form

\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}

for positive integers

m,

n,

p,

q

with

\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.

What is

m + n + p + q?

42

86

92

114

130

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero recta tangente

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sea

s = AB.

Como

\tfrac{BP}{CP} = 3,

tenemos

BP = \tfrac{3s}{4}

y

CP = \tfrac{s}{4}

.

Let

s = AB.

Since

\tfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \tfrac{3s}{4}

and

CP = \tfrac{s}{4}

Pista grande:

Coloca

P

en el origen con

BC

horizontal;

O

está sobre la recta

AP

a distancia

17

de

BC

y

20

de

A

.

Place

P

at the origin with

BC

horizontal;

O

lies on line

AP

at distance

17

from

BC

and

20

from

A

Solución:

Sea

s = AB.

Como

\dfrac{BP}{CP} = 3,

tenemos

BP = \dfrac{3s}{4}

y

CP = \dfrac{s}{4}.

Pon

P

en el origen con

BC

sobre el eje

x

,

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),

y el ápice

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).

Los puntos

P, O, A

son colineales, así que

O = t \cdot A

para algún escalar

t.

Dos condiciones lo determinan:

O

está a distancia

17

de la recta

BC,

lo que da

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,

y

A

está sobre

\omega,

lo que da

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

ya que

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.

Resolviendo,

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

y

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.

La configuración válida tiene

O

y

A

en lados opuestos de

P,

así que

|t-1|s=|t|s+s.

Por lo tanto

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.

Entonces

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

s = AB.

Since

\dfrac{BP}{CP} = 3,

we have

BP = \dfrac{3s}{4}

and

CP = \dfrac{s}{4}.

Put

P

at the origin with

BC

on the

x

-axis,

B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),

C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),

and apex

A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).

Points

P, O, A

are collinear, so

O = t \cdot A

for some scalar

t.

Two conditions pin it down:

O

is at distance

17

from line

BC,

giving

|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,

and

A

is on

\omega,

giving

|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20

since

|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.

Solving,

|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}

and

|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.

The valid configuration has

O

and

A

on opposite sides of

P,

so

|t-1|s=|t|s+s.

Therefore

AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.

Then

m + n + p + q = 80 + 13

+ 34 + 3 = 130.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 22 en otros años