2018 AMC 12B Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2018 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

¿Cuánto vale

\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?

What is

\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?

100{,}100

500{,}500

505{,}000

1{,}001{,}000

1{,}010{,}000

Respuesta: E

Conceptos:sumatoria sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Separa la suma en

\sum\sum i+\sum\sum j

.

Split the sum into

\sum\sum i+\sum\sum j

Pista grande:

La suma de los primeros

100

enteros positivos es

5050

.

The sum of the first

100

positive integers is

5050

Solución:

Separando la suma,

\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}

Como

\sum_{k=1}^{100}k=5050,

esto es igual a

100\cdot5050

+100\cdot5050

=1{,}010{,}000.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Splitting the sum,

\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}

Since

\sum_{k=1}^{100}k=5050,

this equals

100\cdot5050

+100\cdot5050

=1{,}010{,}000.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 9 en otros años