2018 AMC 12B Problema 8

Question

El segmento

\overline{AB}

es un diámetro de un círculo con

AB=24.

El punto

C,

distinto de

A

o

B,

está sobre el círculo. A medida que el punto

C

se mueve alrededor del círculo, el baricentro (centro de masa) de

\triangle ABC

traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región acotada por esta curva?

Line segment

\overline{AB}

is a diameter of a circle with

AB=24.

Point

C,

not equal to

A

or

B,

lies on the circle. As point

C

moves around the circle, the centroid (center of mass) of

\triangle ABC

traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

25

38

50

63

75

Respuesta: C

Conceptos:baricentro homotecia área del círculo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sea

O

el centro; el baricentro se encuentra a un tercio del camino de

O

hacia

C

.

Let

O

be the center; the centroid lies one-third of the way from

O

toward

C

Pista grande:

A medida que

C

se mueve en el círculo de radio

12,

el baricentro traza un círculo de radio

\tfrac13\cdot12

.

As

C

moves on the circle of radius

12,

the centroid traces a circle of radius

\tfrac13\cdot12

Solución:

Sea

O

el centro del círculo. El baricentro de

\triangle ABC

es el promedio de

A,

B,

y

C;

como

O

es el punto medio de

\overline{AB},

el baricentro se encuentra a un tercio del camino de

O

a

C.

A medida que

C

traza el círculo de radio

12,

el baricentro traza un círculo de radio

\tfrac13\cdot12=4.

Su área es

16\pi\approx50.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

O

be the center of the circle. The centroid of

\triangle ABC

is the average of

A,

B,

and

C;

since

O

is the midpoint of

\overline{AB},

the centroid lies one-third of the way from

O

to

C.

As

C

traces the circle of radius

12,