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2018 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2018 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea ⌊x⌋\lfloor x\rfloor el mayor entero menor o igual que x.x. ¿Cuántos números reales xx satisfacen la ecuación x2+10,000⌊x⌋=10,000xx^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?
Let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer less than or equal to x.x. How many real numbers xx satisfy the equation x2+10,000⌊x⌋=10,000x?x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?
197197
198198
199199
200200
201201
Respuesta: C
Conceptos:funciones piso y techoconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 2500
Pista pequeña:
Reescribe la ecuación como x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}.
Rewrite the equation as x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}
Pista grande:
Entonces 0≤x210,000<1,0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1, así que −100<x<100;-100\lt x\lt100; cuenta una solución por cada intervalo unitario.
Then 0≤x210,000<1,0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1, so −100<x<100;-100\lt x\lt100; count one solution per unit interval
Solución:
Sea {x}=x−⌊x⌋.\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. La ecuación se convierte en x2=10,000{x},x^2=10{,}000\{x\}, así que x210,000={x}.\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}. Como 0≤{x}<1,0\le\{x\}\lt1, necesitamos 0≤x2<10,000,0\le x^2\lt10{,}000, es decir, −100<x<100.-100\lt x\lt100.
En cada intervalo [k,k+1),[k,k+1), escribimos x=k+tx=k+t con 0≤t<1.0\le t\lt1. La ecuación se convierte en (k+t)2−10,000t=0.(k+t)^2-10{,}000t=0. Para −100≤k≤98,-100\le k\le98, el lado izquierdo es estrictamente decreciente; en t=0t=0 vale k2≥0,k^2\ge0, mientras que, cuando tt se aproxima a 11, se aproxima a (k+1)2−10,000<0.(k+1)^2-10{,}000\lt0. Por tanto, cada uno de estos intervalos contiene exactamente una solución. Hay 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 intervalos.
Así, la respuesta correcta es C.
Let {x}=x−⌊x⌋.\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. The equation becomes x2=10,000{x},x^2=10{,}000\{x\}, so x210,000={x}.\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}. Since 0≤{x}<1,0\le\{x\}\lt1, we need 0≤x2<10,000,0\le x^2\lt10{,}000, i.e. −100<x<100.-100\lt x\lt100.
On each interval [k,k+1),[k,k+1), write x=k+tx=k+t with 0≤t<1.0\le t\lt1. The equation becomes (k+t)2−10,000t=0.(k+t)^2-10{,}000t=0. For −100≤k≤98,-100\le k\le98, the left side is strictly decreasing; at t=0t=0 it is k2≥0,k^2\ge0, while as tt approaches 11 it approaches (k+1)2−10,000<0.(k+1)^2-10{,}000\lt0. Thus each of these intervals contains exactly one solution. There are 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 such intervals.
Thus, the correct answer is C.

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