2018 AMC 12B Problema 22

Question

Considera polinomios

P(x)

de grado a lo sumo

3,

cada uno de cuyos coeficientes es un elemento de

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.

¿Cuántos de esos polinomios satisfacen

P(-1)=-9

?

Consider polynomials

P(x)

of degree at most

3,

each of whose coefficients is an element of

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.

How many such polynomials satisfy

P(-1)=-9?

110

143

165

220

286

Respuesta: D

Conceptos:estrellas y barras sustitución

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Escribe

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;

entonces

P(-1)=-a+b-c+d=-9

.

Write

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;

then

P(-1)=-a+b-c+d=-9

Pista grande:

Sustituye

a'=9-a

y

c'=9-c

para convertirlo en

a'+b+c'+d=9

con cada variable en

[0,9]

.

Substitute

a'=9-a

and

c'=9-c

to turn it into

a'+b+c'+d=9

with each variable in

[0,9]

Solución:

Escribe

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

con cada uno de

a,b,c,d

en

\{0,\ldots,9\}.

La condición es

-a+b-c+d=-9.

Sea

a'=9-a

y

c'=9-c,

ambos en

[0,9].

Entonces

a'+b+c'+d=9.

Por el método de estrellas y barras, el número de soluciones no negativas es

\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,

y cada una satisface automáticamente las cotas superiores, ya que la suma es

9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

with each of

a,b,c,d

in

\{0,\ldots,9\}.

The condition is

-a+b-c+d=-9.

Let

a'=9-a

and

c'=9-c,

both in

[0,9].

Then

a'+b+c'+d=9.

By stars and bars the number of nonnegative solutions is

\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,

and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is

9.

Thus, the correct answer is D.