2018 AMC 12A Problema 24

Question

Alice, Bob y Carol juegan un juego en el que cada uno elige un número real entre

0

y

1.

El ganador del juego es aquel cuyo número está entre los números elegidos por los otros dos jugadores. Alice anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre

0

y

1,

y Bob anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre

\tfrac12

y

\tfrac23.

Con esta información, ¿qué número debería elegir Carol para maximizar su probabilidad de ganar?

Alice, Bob, and Carol play a game in which each of them chooses a real number between

0

and

1.

The winner of the game is the one whose number is between the numbers chosen by the other two players. Alice announces that she will choose her number uniformly at random from all the numbers between

0

and

1,

and Bob announces that he will choose his number uniformly at random from all the numbers between

\tfrac12

and

\tfrac23.

Armed with this information, what number should Carol choose to maximize her chance of winning?

\tfrac12

\tfrac{13}{24}

\tfrac{7}{12}

\tfrac58

\tfrac23

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos optimización

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Divide en casos según dónde se sitúa el número

c

de Carol respecto de

\tfrac12

y

\tfrac23;

para

\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23

ella puede ganar de dos maneras

Split into cases by where Carol’s number

c

sits relative to

\tfrac12

and

\tfrac23;

for

\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23

she can win in two ways

Pista grande:

En ese rango intermedio su probabilidad de ganar es

-12c^2 + 13c - 3;

maximiza esta cuadrática hacia abajo en su vértice

c = \tfrac{-b}{2a}

In that middle range her win probability is

-12c^2 + 13c - 3;

maximize this downward quadratic at its vertex

c = \tfrac{-b}{2a}

Solución:

Si

c \le \tfrac12,

Carol le gana a Bob automáticamente, así que gana solo si Alice está por debajo de

c,

con probabilidad

c \le \tfrac12.

Si

c \ge \tfrac23,

gana con probabilidad

1 - c \le \tfrac13.

Ninguno de los casos supera

\tfrac12.

Para

\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,

la probabilidad de que el número de Bob supere a

c

es

\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c,

así que la probabilidad de que Carol esté por encima de Alice y por debajo de Bob es

c(4 - 6c);

el orden inverso tiene probabilidad

(1 - c)(6c - 3).

Sumando,

\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}

Esta parábola hacia abajo se maximiza en

c = \tfrac{13}{24},

que está en

\left(\tfrac12, \tfrac23\right),

y su valor supera

\tfrac12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If

c \le \tfrac12,

Carol beats Bob automatically, so she wins only if Alice is below

c,

probability

c \le \tfrac12.

If

c \ge \tfrac23,

she wins with probability

1 - c \le \tfrac13.

Neither case exceeds

\tfrac12.

For

\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,

the chance Bob’s number exceeds

c

is

\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c,

so the probability Carol is above Alice and below Bob is

c(4 - 6c);

the reverse ordering has probability

(1 - c)(6c - 3).

Adding,

\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}

This downward parabola is maximized at

c = \tfrac{13}{24},

which lies in

\left(\tfrac12, \tfrac23\right),

and its value exceeds

\tfrac12.

Thus, the correct answer is B.