2018 AMC 12A Problema 10

Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales

(x, y)

satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones?

x + 3y = 3

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

How many ordered pairs of real numbers

(x, y)

satisfy the following system of equations?

x + 3y = 3

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

1

2

3

4

8

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

La ecuación

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

significa

|x| - |y| = \pm 1,

lo que se desglosa en

x = \pm y \pm 1

The equation

\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1

means

|x| - |y| = \pm 1,

which unfolds into

x = \pm y \pm 1

Pista grande:

Resuelve

x + 3y = 3

junto con cada una de

x = y + 1,

x = y - 1,

x = -y + 1,

x = -y - 1,

luego descarta las repetidas

Solve

x + 3y = 3

together with each of

x = y + 1,

x = y - 1,

x = -y + 1,

x = -y - 1,

then discard repeats

Solución:

La segunda ecuación da

|x| - |y| = \pm 1,

equivalentemente

x = \pm y \pm 1.

Sustituyendo en

x + 3y = 3:

Si

x = y + 1,

entonces

(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).

Si

x = y - 1,

entonces

(x, y) = (0, 1).

Si

x = -y + 1,

entonces de nuevo

(x, y) = (0, 1).

Si

x = -y - 1,

entonces

(x, y) = (-3, 2).

Las soluciones distintas son

(-3, 2),

(0, 1),

y

\left(\tfrac32, \tfrac12\right),

todas las cuales se verifican, así que hay

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The second equation gives

|x| - |y| = \pm 1,

equivalently

x = \pm y \pm 1.

Substituting into

x + 3y = 3:

If

x = y + 1,

then

(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).

If

x = y - 1,

then

(x, y) = (0, 1).

If

x = -y + 1,

then again

(x, y) = (0, 1).

If

x = -y - 1,

then

(x, y) = (-3, 2).

The distinct solutions are

(-3, 2),

(0, 1),

and

\left(\tfrac32, \tfrac12\right),

all of which check, so there are

3.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12A Problema 10

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años