2017 AMC 12B Problema 9

Question

Una circunferencia tiene centro

(-10, -4)

y radio

13.

Otra circunferencia tiene centro

(3, 9)

y radio

\sqrt{65}.

La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las dos circunferencias tiene ecuación

x + y = c.

¿Cuánto vale

c

?

A circle has center

(-10, -4)

and radius

13.

Another circle has center

(3, 9)

and radius

\sqrt{65}.

The line passing through the two points of intersection of the two circles has equation

x + y = c.

What is

c?

3

3\sqrt{3}

4\sqrt{2}

6

\dfrac{13}{2}

Escribe ambas circunferencias como

(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169

y

(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65

Write both circles as

(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169

and

(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65

Resta una ecuación desarrollada de la otra; los términos cuadráticos se cancelan

Subtract one expanded equation from the other; the quadratic terms cancel

Las circunferencias son

(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169

y

(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.

Al desarrollar y restar la segunda de la primera se cancelan los términos

x^2

y

y^2

y se simplifica a

x + y = 3.

Cualquier punto de intersección satisface esta ecuación, por lo que es la recta que pasa por ambos, y

c = 3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circles are

(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169

and

(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.

Expanding and subtracting the second from the first cancels the

x^2

and

y^2

terms and simplifies to

x + y = 3.

Any intersection point satisfies this, so it is the line through both, and

c = 3.

Thus, the correct answer is A.

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