2017 AMC 12B Problema 2

Question

Los números reales

x,

y,

y

z

satisfacen las desigualdades

0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,

y

1 \lt z \lt 2.

¿Cuál de los siguientes números es necesariamente positivo?

Real numbers

x,

y,

and

z

satisfy the inequalities

0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,

and

1 \lt z \lt 2.

Which of the following numbers is necessarily positive?

y + x^2

y + xz

y + y^2

y + 2y^2

y + z

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Como

y \gt -1

y

z \gt 1,

¿qué puedes decir sobre

y + z

?

Since

y \gt -1

and

z \gt 1,

what can you say about

y + z?

Pista grande:

Para las otras cuatro, prueba

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32

para forzar un valor negativo

For the other four, try

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32

to force a negative value

Solución:

Al sumar

y \gt -1

y

z \gt 1

se obtiene

y + z \gt 0,

de modo que

y + z

es siempre positivo. Cada una de las otras cuatro opciones puede hacerse negativa: con

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32,

cada uno de

y + x^2,

y + xz,

y + y^2,

y

y + 2y^2

es negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding

y \gt -1

and

z \gt 1

gives

y + z \gt 0,

so

y + z

is always positive. Each of the other four choices can be made negative: with

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32,

every one of

y + x^2,

y + xz,

y + y^2,

and

y + 2y^2

is negative.

Thus, the correct answer is E.