2017 AMC 12B Problema 19

Question

Sea

N = 123456789101112\ldots4344

el número de

79

cifras que se forma escribiendo los enteros de

1

a

44

en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando

N

se divide entre

45

?

Let

N = 123456789101112\ldots4344

be the

79

-digit number that is formed by writing the integers from

1

to

44

in order, one after the other. What is the remainder when

N

is divided by

45?

1

4

9

18

44

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como

45 = 9 \cdot 5,

halla

N \bmod 5

(la última cifra) y

N \bmod 9

(la suma de las cifras)

Since

45 = 9 \cdot 5,

find

N \bmod 5

(the last digit) and

N \bmod 9

(the digit sum)

Pista grande:

La suma de las cifras es un múltiplo de

9,

así que

N \equiv 0 \pmod 9;

combínalo con el residuo módulo

5

The digit sum is a multiple of

9,

so

N \equiv 0 \pmod 9;

combine with the residue mod

5

Solución:

La última cifra de

N

es

4,

por lo que

N \equiv 4 \pmod 5.

Para el módulo

9,

suma las cifras: los números del

1

al

9

aportan sus cifras, y las cifras de las decenas de

10

a

44

junto con las cifras de las unidades suman en total

270,

que es un múltiplo de

9,

por lo que

N \equiv 0 \pmod 9.

El número

N - 9

es entonces un múltiplo de

9,

y su última cifra es

5,

así que es un múltiplo de

5;

por lo tanto

N - 9

es un múltiplo de

45.

En consecuencia

N \equiv 9 \pmod{45}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last digit of

N

is

4,

so

N \equiv 4 \pmod 5.

For mod

9,

sum the digits: the numbers

1

–

9

contribute their digits, the tens digits of

10

–

44

and the units digits together sum to

270,

which is a multiple of

9,

so

N \equiv 0 \pmod 9.

The number

N - 9

is then a multiple of

9,

and its last digit is

5,

so it is a multiple of

5;

hence

N - 9

is a multiple of

45.

Therefore

N \equiv 9 \pmod{45}.

Thus, the correct answer is C.