2017 AMC 12A Problema 17

Question

Hay

24

números complejos diferentes

z

tales que

z^{24}=1.

¿Para cuántos de ellos

z^6

es un número real?

There are

24

different complex numbers

z

such that

z^{24}=1.

For how many of these is

z^6

a real number?

0

4

6

12

24

Respuesta: D

Conceptos:raíces de la unidad número complejo

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Escribe

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

para

k=0,1,\ldots,23

Write

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

for

k=0,1,\ldots,23

Pista grande:

Entonces

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}},

que es real exactamente cuando

k

es par

Then

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}},

which is real exactly when

k

is even

Solución:

Las

24

soluciones son las raíces

24

-ésimas de la unidad,

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

para

k=0,1,\ldots,23.

Entonces

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},

que es real exactamente cuando

\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,

es decir, cuando

k

es par. Hay

12

valores pares de

k

en el rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The

24

solutions are the

24

th roots of unity,

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

for

k=0,1,\ldots,23.

Then

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},

which is real exactly when

\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,

i.e. when

k

is even. There are

12

even values of

k

in the range.

Thus, the correct answer is D.