2016 AMC 12A Problema 22

Question

¿Cuántas ternas ordenadas

(x,y,z)

de enteros positivos satisfacen

\text{lcm}(x,y)=72,

\text{lcm}(x,z)=600,

y

\text{lcm}(y,z)=900

?

How many ordered triples

(x,y,z)

of positive integers satisfy

\text{lcm}(x,y)=72,

\text{lcm}(x,z)=600,

and

\text{lcm}(y,z)=900?

15

16

24

27

64

Respuesta: A

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Factoriza:

72=2^3\cdot3^2,

600=2^3\cdot3\cdot5^2,

900=2^2\cdot3^2\cdot5^2

.

Factor:

72=2^3\cdot3^2,

600=2^3\cdot3\cdot5^2,

900=2^2\cdot3^2\cdot5^2

Pista grande:

Trata cada primo

2,3,5

por separado, usando el

\max

de los exponentes.

Handle each prime

2,3,5

separately, using

\max

of the exponents

Solución:

Como

\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2

y

\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,

el factor

5^2

divide a

z

mientras que ni

x

ni

y

es divisible por

5.

Además,

3^2

divide a

y,

mientras que ni

x

ni

z

es divisible por

3^2,

y

x

debe tener el factor

2^3.

Escribiendo

x=2^3\cdot3^{\,j},

y=2^{\,k}\cdot3^2,

y

z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,

las condiciones de lcm requieren

\max(j,n)=1

y

\max(k,m)=2.

El primer par puede ser

(1,0),(0,1),(1,1),

y el segundo puede ser

(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).

Así, hay

3\cdot5=15

ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because

\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2

and

\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,

the factor

5^2

divides

z

while neither

x

nor

y

is divisible by

5.

Also

3^2

divides

y,

while neither

x

nor

z

is divisible by

3^2,

and

x

must have the factor

2^3.

Writing

x=2^3\cdot3^{\,j},

y=2^{\,k}\cdot3^2,

and

z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,

the lcm conditions require

\max(j,n)=1

and

\max(k,m)=2.

The first pair can be

(1,0),(0,1),(1,1),

and the second can be

(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).

Thus there are

3\cdot5=15

ordered triples.

Thus, the correct answer is A.