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2016 AMC 12A Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2016 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Sea ABCDABCD un cuadrado. Sean E,E, F,F, G,G, y HH los centros, respectivamente, de triángulos equiláteros con bases AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, y DA‾,\overline{DA}, cada uno exterior al cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado EFGHEFGH y el área del cuadrado ABCDABCD?

Let ABCDABCD be a square. Let E,E, F,F, G,G, and HH be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, and DA‾,\overline{DA}, each exterior to the square. What is the ratio of the area of square EFGHEFGH to the area of square ABCD?ABCD?

11

2+33\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}

2\sqrt{2}

2+32\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}

3\sqrt{3}

Respuesta: B
Conceptos:triángulo equiláterobaricentrorazón de áreas
Nivel de dificultad: 1800
Solución:

Sea el cuadrado ABCDABCD de lado 6.6. Cada triángulo equilátero tiene altura 33,3\sqrt3, y su centro está a 13\frac13 de esa altura, es decir 3,\sqrt3, del lado del cuadrado.

El cuadrado ABCDABCD tiene diagonal 62.6\sqrt2. El cuadrado EFGHEFGH tiene diagonal igual al lado de ABCDABCD más dos veces 3,\sqrt3, es decir 6+23.6+2\sqrt3. La razón de áreas es el cuadrado de la razón de diagonales: (6+2362)2=(3+332)2=12+6318=2+33. \begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let square ABCDABCD have side length 6.6. Each equilateral triangle has height 33,3\sqrt3, and its center lies 13\frac13 of that height, namely 3,\sqrt3, from the square's side.

Square ABCDABCD has diagonal 62.6\sqrt2. Square EFGHEFGH has diagonal equal to the side of ABCDABCD plus twice 3,\sqrt3, namely 6+23.6+2\sqrt3. The area ratio is the square of the ratio of diagonals: (6+2362)2=(3+332)2=12+6318=2+33. \begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

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