2015 AMC 12B Problema 9

Question

Larry y Julius juegan un juego, lanzando por turnos una pelota a una botella colocada en una repisa. Larry lanza primero. El ganador es la primera persona en tirar la botella de la repisa. En cada turno la probabilidad de que un jugador tire la botella de la repisa es

\dfrac12,

independientemente de lo que haya sucedido antes. ¿Cuál es la probabilidad de que Larry gane el juego?

Larry and Julius are playing a game, taking turns throwing a ball at a bottle sitting on a ledge. Larry throws first. The winner is the first person to knock the bottle off the ledge. At each turn the probability that a player knocks the bottle off the ledge is

\dfrac12,

independently of what has happened before. What is the probability that Larry wins the game?

\dfrac12

\dfrac35

\dfrac23

\dfrac34

\dfrac45

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad recursiva sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Larry gana de inmediato con probabilidad

\dfrac12

Larry wins immediately with probability

\dfrac12

Pista grande:

Si ambos fallan (probabilidad

\dfrac14

), el juego se reinicia; resuelve

x = \dfrac12 + \dfrac14 x

If both miss (probability

\dfrac14

), the game resets; solve

x = \dfrac12 + \dfrac14 x

Solución:

Sea

x

la probabilidad de que Larry gane. Gana enseguida con probabilidad

\dfrac12,

o ambos jugadores fallan (probabilidad

\dfrac14

) y el juego vuelve a empezar.

Así que

x = \dfrac12 + \dfrac14 x,

de donde

\dfrac34 x = \dfrac12

y

x = \dfrac23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

x

be the probability Larry wins. He wins right away with probability

\dfrac12,

or both players miss (probability

\dfrac14

) and the game restarts.

So

x = \dfrac12 + \dfrac14 x,

giving

\dfrac34 x = \dfrac12

and

x = \dfrac23.

Thus, the correct answer is C.