2015 AMC 12B Problema 19

Question

En

\triangle ABC,

\angle C = 90^\circ

y

AB = 12.

Se construyen los cuadrados

ABXY

y

ACWZ

fuera del triángulo. Los puntos

X,

Y,

Z,

y

W

están en un círculo. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

In

\triangle ABC,

\angle C = 90^\circ

and

AB = 12.

Squares

ABXY

and

ACWZ

are constructed outside of the triangle. The points

X,

Y,

Z,

and

W

lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

12 + 9\sqrt3

18 + 6\sqrt3

12 + 12\sqrt2

30

32

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

El centro

O

del círculo es equidistante de

X, Y, Z, W,

así que es el circuncentro de

\triangle ABC

The circle’s center

O

is equidistant from

X, Y, Z, W,

so it is the circumcenter of

\triangle ABC

Pista grande:

Como

\angle C = 90^\circ,

O

es el punto medio de

AB;

pon

a = \tfrac12 BC,

b = \tfrac12 CA

y usa

OX = OW

Since

\angle C = 90^\circ,

O

is the midpoint of

AB;

set

a = \tfrac12 BC,

b = \tfrac12 CA

and use

OX = OW

Solución:

El centro

O

del círculo está en las mediatrices de

XY

y

ZW,

que son las mismas que las de

AB

y

AC.

Así,

O

es el circuncentro de

\triangle ABC,

y como

\angle C = 90^\circ,

O

es el punto medio de

AB.

Sea

a = \tfrac12 BC

y

b = \tfrac12 CA.

Entonces

a^2 + b^2 = 6^2,

y la igualdad

OX^2 = OW^2

da

12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.

Como el lado izquierdo es

5(a^2+b^2),

al restar se obtiene

4a(b-a)=0.

Por tanto,

a=b,

y

2a^2=36

da

a=b=3\sqrt2.

Así,

BC=CA=6\sqrt2,

y el perímetro es

12+12\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center

O

of the circle lies on the perpendicular bisectors of

XY

and

ZW,

which are the same as those of

AB

and

AC.

So

O

is the circumcenter of

\triangle ABC,

and since

\angle C = 90^\circ,

O

is the midpoint of

AB.

Let

a = \tfrac12 BC

and

b = \tfrac12 CA.

Then

a^2 + b^2 = 6^2,

and computing

OX^2 = OW^2

gives

12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.

Because the left side is

5(a^2+b^2),

subtracting gives

4a(b-a)=0.

Thus

a=b,

and

2a^2=36

gives

a=b=3\sqrt2.

Therefore

BC=CA=6\sqrt2,

and the perimeter is

12+12\sqrt2.

Thus, the correct answer is C.