2015 AMC 12B Problema 10

Question

¿Cuántos triángulos no congruentes de lados enteros, con área positiva y perímetro menor que

15

, no son equiláteros, ni isósceles, ni rectángulos?

How many noncongruent integer-sided triangles with positive area and perimeter less than

15

are neither equilateral, isosceles, nor right triangles?

3

4

5

6

7

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad triangular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Con lados

a \lt b \lt c,

la desigualdad triangular da un perímetro

\gt 2c

.

With sides

a \lt b \lt c,

the triangle inequality gives perimeter

\gt 2c

Pista grande:

Esto obliga a

c \le 6;

enumera las ternas escalenas y descarta el triángulo rectángulo

3, 4, 5

.

This forces

c \le 6;

list scalene triples and drop the right triangle

3, 4, 5

Solución:

Sean los lados distintos

a \lt b \lt c.

Como

a + b \gt c,

el perímetro supera

2c,

así que

2c \lt 15

y

c \le 6.

Las ternas escalenas con perímetro menor que

15

son

(6,5,3),

(6,5,2),

(6,4,3),

(5,4,3),

(5,4,2),

y

(4,3,2).

De estas, solo

(5,4,3)

es un triángulo rectángulo, dejando

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the distinct sides be

a \lt b \lt c.

Since

a + b \gt c,

the perimeter exceeds

2c,

so

2c \lt 15

and

c \le 6.

The scalene triples with perimeter less than

15

are

(6,5,3),

(6,5,2),

(6,4,3),

(5,4,3),

(5,4,2),

and

(4,3,2).

Of these, only

(5,4,3)

is a right triangle, leaving

5.

Thus, the correct answer is C.