2015 AMC 12A Problema 8

Question

La razón del largo al ancho de un rectángulo es

4 : 3.

Si el rectángulo tiene una diagonal de longitud

d,

entonces el área puede expresarse como

kd^2

para cierta constante

k.

¿Cuánto vale

k

?

The ratio of the length to the width of a rectangle is

4 : 3.

If the rectangle has diagonal of length

d,

then the area may be expressed as

kd^2

for some constant

k.

What is

k?

\dfrac{2}{7}

\dfrac{3}{7}

\dfrac{12}{25}

\dfrac{16}{25}

\dfrac{3}{4}

Toma los lados como

4a

y

3a,

así que la diagonal es

5a

Let the sides be

4a

and

3a,

so the diagonal is

5a

Escribe el área

12a^2

en términos de

d = 5a

Write the area

12a^2

in terms of

d = 5a

Sean los lados del rectángulo

4a

y

3a.

Por el teorema de Pitágoras la diagonal es

5a = d,

así que

a = \dfrac{d}{5}.

El área es

4a\cdot 3a = 12a^2

= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2

= \dfrac{12}{25}d^2,

así que

k = \dfrac{12}{25}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the sides of the rectangle be

4a

and

3a.

By the Pythagorean Theorem the diagonal is

5a = d,

so

a = \dfrac{d}{5}.

The area is

4a\cdot 3a = 12a^2

= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2

= \dfrac{12}{25}d^2,

so

k = \dfrac{12}{25}.

Thus, the correct answer is C.

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