Question

Los números racionales $a$ y $b$ se eligen al azar entre todos los números racionales del intervalo $[0, 2)$ que pueden escribirse como fracciones $\dfrac{n}{d}$ donde $n$ y $d$ son enteros con $1 \le d \le 5.$ ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número real? $(\cos(a\pi) + i\sin(b\pi))^4$

Rational numbers $a$ and $b$ are chosen at random among all rational numbers in the interval $[0, 2)$ that can be written as fractions $\dfrac{n}{d}$ where $n$ and $d$ are integers with $1 \le d \le 5.$ What is the probability that $(\cos(a\pi) + i\sin(b\pi))^4$ is a real number?

$\dfrac{3}{50}$

$\dfrac{4}{25}$

$\dfrac{41}{200}$

$\dfrac{6}{25}$

$\dfrac{13}{50}$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre conteo básico

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Hay $20$ valores posibles para cada uno de $a$ y $b.$ En forma reducida, los denominadores $1,2,3,4,5$ aportan respectivamente $2,2,4,4,8$ valores en $[0,2),$ para un total de $20.$

Escribamos $x = \cos(a\pi)$ y $y = \sin(b\pi),$ La cuarta potencia $(x + iy)^4$ es real si y solo si $x = 0,$ $y = 0,$ o $x = \pm y.$

El caso $x = 0$ significa $a \in \left\{\dfrac12, \dfrac32\right\},$ y da $2\cdot 20 = 40$ pares; el caso $y = 0$ significa $b \in \{0, 1\},$ y da otros $40$ pares, de los cuales $4$ ya se contaron.

Para la condición restante $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi),$ con ambos lados distintos de cero, los valores permitidos de $b$ son $\dfrac14,$ $\dfrac12,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ $\dfrac32,$ y $\dfrac74.$ Las cantidades correspondientes de valores permitidos de $a$ son $4,2,4,4,2,4.$ Por ejemplo, cuando $b = \dfrac14,$ los valores son $a = \dfrac14,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ y $\dfrac74;$ los otros casos se obtienen con las mismas identidades de cuarto de vuelta. Así, esta condición aporta $4+2+4+4+2+4=20$ pares más.

En total hay $40 + 40 - 4 + 20 = 96$ pares válidos de $400,$ así que la probabilidad es $\dfrac{96}{400} = \dfrac{6}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $20$ possible values for each of $a$ and $b.$ In reduced form, denominators $1,2,3,4,5$ contribute respectively $2,2,4,4,8$ values in $[0,2),$ for a total of $20.$

Writing $x = \cos(a\pi)$ and $y = \sin(b\pi),$ the fourth power $(x + iy)^4$ is real if and only if $x = 0,$ $y = 0,$ or $x = \pm y.$

The case $x = 0$ means $a \in \left\{\dfrac12, \dfrac32\right\},$ giving $2\cdot 20 = 40$ pairs; the case $y = 0$ means $b \in \{0, 1\},$ giving another $40$ pairs, of which $4$ were already counted.

For the remaining condition $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi),$ with neither side zero, the allowed values of $b$ are $\dfrac14,$ $\dfrac12,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ $\dfrac32,$ and $\dfrac74.$ The corresponding numbers of allowed values of $a$ are respectively $4,2,4,4,2,4.$ For example, when $b = \dfrac14,$ the values are $a = \dfrac14,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ and $\dfrac74;$ the other rows follow from the same quarter-turn identities. Hence this condition contributes $4+2+4+4+2+4=20$ more pairs.

In all there are $40 + 40 - 4 + 20 = 96$ valid pairs out of $400,$ so the probability is $\dfrac{96}{400} = \dfrac{6}{25}.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 24 en otros años