2015 AMC 12A Problema 10

Question

Los enteros

x

y

y

con

x \gt y \gt 0

satisfacen

x+y+xy = 80.

¿Cuánto vale

x

?

Integers

x

and

y

with

x \gt y \gt 0

satisfy

x+y+xy = 80.

What is

x?

8

10

15

18

26

Respuesta: E

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Suma

1

a ambos lados para que el lado izquierdo se factorice

Add

1

to both sides so the left side factors

Pista grande:

(x+1)(y+1) = 81;

usa

x \gt y \gt 0

con

81 = 3^4

(x+1)(y+1) = 81;

use

x \gt y \gt 0

with

81 = 3^4

Solución:

Sumando

1

a ambos lados y factorizando se obtiene

(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.

Como

x

y

y

son enteros positivos distintos con

x \gt y,

la única posibilidad es

x+1 = 3^3 = 27

y

y+1 = 3.

Por lo tanto

x = 26.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding

1

to both sides and factoring gives

(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.

Because

x

and

y

are distinct positive integers with

x \gt y,

the only possibility is

x+1 = 3^3 = 27

and

y+1 = 3.

Therefore

x = 26.

Thus, the correct answer is E.