2014 AMC 12A Problema 22

Question

El número

5^{867}

está entre

2^{2013}

y

2^{2014}.

¿Cuántos pares de enteros

(m,n)

hay tales que

1\le m\le2012

y

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?

The number

5^{867}

is between

2^{2013}

and

2^{2014}.

How many pairs of integers

(m,n)

are there such that

1\le m\le2012

and

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?

278

279

280

281

282

Respuesta: B

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Entre potencias consecutivas

5^n

y

5^{n+1}

hay dos o tres potencias de

2

.

Between consecutive powers

5^n

and

5^{n+1}

there are either two or three powers of

2

Pista grande:

La desigualdad pide tres de esas potencias; si

d,t

cuentan los huecos con dos y con tres potencias, entonces

d+t=867

y

2d+3t=2013

.

The inequality asks for three such powers; if

d,t

count the two-power and three-power gaps, then

d+t=867

and

2d+3t=2013

Solución:

Como

2^2\lt5\lt2^3,

cada intervalo

(5^n,5^{n+1})

contiene dos o tres potencias de

2.

La cadena

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}

se cumple exactamente cuando el intervalo contiene tres potencias consecutivas de

2,

y entonces hay un único

m.

Sean

d

y

t

las cantidades de intervalos

(5^n,5^{n+1})

con

0\le n\le866

que contienen dos y tres potencias de

2,

respectivamente. Como

2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}

hay

2013

potencias de

2

en total, lo que da

d+t=867

y

2d+3t=2013.

Resolviendo,

t=2013-2\cdot867=279.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because

2^2\lt5\lt2^3,

each interval

(5^n,5^{n+1})

contains either two or three powers of

2.

The chain

5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}

holds exactly when the interval contains three consecutive powers of

2,

and then there is a unique such

m.

Let

d

and

t

be the numbers of intervals

(5^n,5^{n+1})

for

0\le n\le866

containing two and three powers of

2,

respectively. Since

2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}

there are

2013

powers of

2

in total, giving

d+t=867

and

2d+3t=2013.

Solving,

t=2013-2\cdot867=279.

Thus, the correct answer is B.