Question

Sean $m \gt 1$ y $n \gt 1$ enteros. Supón que el producto de las soluciones en $x$ de la ecuación

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

es el menor entero posible. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Let $m \gt 1$ and $n \gt 1$ be integers. Suppose that the product of the solutions for $x$ of the equation

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

is the smallest possible integer. What is $m + n?$

$12$

$20$

$24$

$48$

$272$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo Fórmulas de Vieta aritmética modular

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Al escribir $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ y $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ la ecuación se convierte en una cuadrática en $\log x$ cuyas raíces suman $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Por tanto, $N^8=m^7n^6,$ donde $N=x_1x_2.$ Para cada primo que divide a $mn,$ sean $a,b$ sus exponentes en $m,n,$ respectivamente. Entonces $7a+6b\equiv0\pmod8.$ Es imposible que $a$ sea impar. Si $a=0,$ entonces $b$ es múltiplo de $4$ y este primo aporta al menos un factor $p^3,$ pero algún otro primo debe dividir a $m.$ Si $a\equiv0\pmod8$ es positivo, su aporte a $N$ es al menos $p^7;$ si $a\equiv2\pmod8,$ entonces $b\equiv3\pmod4$ y el menor aporte es $p^4.$ Cualquier otro valor positivo y par de $a$ produce un aporte mayor. Así, el mínimo usa únicamente $p=2$ con $(a,b)=(2,3),$ lo que da $N=16,$ $m=4,$ y $n=8.$ Por tanto, $m+n=12.$ Así, la respuesta correcta es A.

Writing $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ and $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ the equation becomes a quadratic in $\log x$ whose roots sum to $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Hence $N^8=m^7n^6,$ where $N=x_1x_2.$ For each prime dividing $mn,$ let its exponents in $m,n$ be $a,b.$ Then $7a+6b\equiv0\pmod8.$ An odd $a$ is impossible. If If $a=0,$ then $b$ is a multiple of $4$ and this prime contributes at least $p^3,$ but some other prime must divide $m.$ If $a\equiv0\pmod8$ is positive, its contribution to $N$ is at least $p^7;$ if $a\equiv2\pmod8,$ then $b\equiv3\pmod4$ and the least contribution is $p^4.$ Every other positive even $a$ gives more. Thus the minimum uses only $p=2$ with $(a,b)=(2,3),$ giving $N=16,$ $m=4,$ and $n=8.$ So $m+n=12.$ Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12B Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

El Problema 22 en otros años