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2013 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

En el triángulo ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, y CA=15.CA = 15. Los puntos distintos D,D, E,E, y FF están sobre los segmentos BC,BC, CA,CA, y DE,DE, respectivamente, de modo que AD⊥BC,AD \perp BC, DE⊥AC,DE \perp AC, y AF⊥BF.AF \perp BF. La longitud del segmento DFDF se puede escribir como mn,\dfrac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale m+nm + n?
In triangle ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and CA=15.CA = 15. Distinct points D,D, E,E, and FF lie on segments BC,BC, CA,CA, and DE,DE, respectively, such that AD⊥BC,AD \perp BC, DE⊥AC,DE \perp AC, and AF⊥BF.AF \perp BF. The length of segment DFDF can be written as mn,\dfrac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m + n?
1818
2121
2424
2727
3030
Respuesta: B
Conceptos:cuadrilátero cíclicosemejanzaaltura
Nivel de dificultad: 2140
Pista pequeña:
La altura ADAD en el triángulo 1313-1414-1515 da BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12AD = 12.
The altitude ADAD in the 1313-1414-1515 triangle gives BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12AD = 12
Pista grande:
Como ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, los puntos A,B,D,FA, B, D, F son concíclicos; usa triángulos rectángulos semejantes para hallar FE,FE, y luego DF=DE−FEDF = DE - FE.
Since ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, points A,B,D,FA, B, D, F are concyclic; use similar right triangles to find FE,FE, then DF=DE−FEDF = DE - FE
Solución:
La altura desde AA hasta BCBC da BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12.AD = 12. Como DE⊥AC,DE \perp AC, el triángulo AED∼ADC,AED \sim ADC, lo que da DE=365DE = \tfrac{36}{5} y AE=485.AE = \tfrac{48}{5}. Como ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, el cuadrilátero ABDFABDF es cíclico, así que ∠ABD=∠AFE,\angle ABD = \angle AFE, haciendo semejantes los triángulos rectángulos ABDABD y AFEAFE: FE5=48512,\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}, así que FE=4.FE = 4. Por lo tanto DF=DE−FEDF = DE - FE =365−4= \tfrac{36}{5} - 4 =165,= \tfrac{16}{5}, y m+n=21.m + n = 21. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The altitude from AA to BCBC gives BD=5,BD = 5, CD=9,CD = 9, AD=12.AD = 12. Because DE⊥AC,DE \perp AC, triangle AED∼ADC,AED \sim ADC, giving DE=365DE = \tfrac{36}{5} and AE=485.AE = \tfrac{48}{5}. Since ∠AFB=∠ADB=90∘,\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ, quadrilateral ABDFABDF is cyclic, so ∠ABD=∠AFE,\angle ABD = \angle AFE, making right triangles ABDABD and AFEAFE similar: FE5=48512,\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}, so FE=4.FE = 4. Hence DF=DE−FEDF = DE - FE =365−4= \tfrac{36}{5} - 4 =165,= \tfrac{16}{5}, and m+n=21.m + n = 21. Thus, the correct answer is B.

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