2013 AMC 12B Problema 17

Question

Sean

a,

b,

y

c

números reales tales que

a + b + c = 2

y

a^2 + b^2 + c^2 = 12.

¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor posible de

c

?

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

a + b + c = 2

and

a^2 + b^2 + c^2 = 12.

What is the difference between the maximum and minimum possible values of

c?

2

\dfrac{10}{3}

4

\dfrac{16}{3}

\dfrac{20}{3}

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe

a + b = 2 - c

y

a^2 + b^2 = 12 - c^2

.

Write

a + b = 2 - c

and

a^2 + b^2 = 12 - c^2

Pista grande:

Existen

a, b

reales con una suma y una suma de cuadrados dadas si y solo si

(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)

.

Real

a, b

with a given sum and sum of squares exist iff

(a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)

Solución:

De las ecuaciones,

a + b = 2 - c

y

a^2 + b^2 = 12 - c^2.

Existen números reales

a, b

con una suma y una suma de cuadrados dadas si y solo si

(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),

es decir

(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).

Esto se simplifica a

(3c - 10)(c + 2) \le 0,

así que

-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.

La diferencia es

\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From the equations,

a + b = 2 - c

and

a^2 + b^2 = 12 - c^2.

Real numbers

a, b

with a given sum and sum of squares exist iff

(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2),

i.e.

(2 - c)^2 \le 2(12 - c^2).

This simplifies to

(3c - 10)(c + 2) \le 0,

so

-2 \le c \le \tfrac{10}{3}.

The difference is

\tfrac{10}{3} - (-2) = \tfrac{16}{3}.

Thus, the correct answer is D.