2013 AMC 12A Problema 19

Question

En el

\triangle ABC,

AB = 86,

y

AC = 97.

Una circunferencia con centro

A

y radio

AB

corta a

\overline{BC}

en los puntos

B

y

X.

Además,

\overline{BX}

y

\overline{CX}

tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale

BC

?

In

\triangle ABC,

AB = 86,

and

AC = 97.

A circle with center

A

and radius

AB

intersects

\overline{BC}

at points

B

and

X.

Moreover

\overline{BX}

and

\overline{CX}

have integer lengths. What is

BC?

11

28

33

61

72

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

La potencia de un punto desde

C

da

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

.

Power of a Point from

C

gives

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

Pista grande:

AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;

factoriza con

CX \lt BC \lt AB + AC = 183

AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;

factor with

CX \lt BC \lt AB + AC = 183

Solución:

Por el teorema de la potencia de un punto,

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

, donde

AB

es el radio. Así que

BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.

Como

BC = BX + CX

y

CX

son enteros, son factores complementarios de

2013 = 3\cdot 11\cdot 61.

Dado que

CX \lt BC \lt AB + AC = 183,

la única posibilidad es

CX = 33

y

BC = 61.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Power of a Point Theorem,

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

where

AB

is the radius. Thus

BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.

Since

BC = BX + CX

and

CX

are integers, they are complementary factors of

2013 = 3\cdot 11\cdot 61.

As

CX \lt BC \lt AB + AC = 183,

the only possibility is

CX = 33

and

BC = 61.

Thus, the correct answer is D.