2012 AMC 12A Problema 22

Question

Planos distintos

p_1,

p_2,

\ldots,

p_k

cortan el interior de un cubo

Q.

Sea

S

la unión de las caras de

Q

y sea

P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.

La intersección de

P

y

S

consiste en la unión de todos los segmentos que unen los puntos medios de cada par de aristas que pertenecen a una misma cara de

Q.

¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de

k

?

Distinct planes

p_1,

p_2,

\ldots,

p_k

intersect the interior of a cube

Q.

Let

S

be the union of the faces of

Q

and let

P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.

The intersection of

P

and

S

consists of the union of all segments joining the midpoints of every pair of edges belonging to the same face of

Q.

What is the difference between the maximum and the minimum possible values of

k?

8

12

20

23

24

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo Geometría 3D análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

En cada cara los segmentos dibujados unen puntos medios de aristas; clasifica la sección de un plano como cuadrado, rectángulo, triángulo o hexágono

On each face the drawn segments join midpoints of edges; classify a plane’s cross-section as a square, rectangle, triangle, or hexagon

Pista grande:

Para el máximo, cuenta todos los planos de cada tipo; para el mínimo, cubre los

24

segmentos cortos y

12

segmentos largos con la menor cantidad de planos posible

For the maximum, count all planes of each type; for the minimum, cover all

24

short and

12

long segments with as few planes as possible

Solución:

En cada cara, los segmentos requeridos unen puntos medios de aristas. Un plano que corta el cubo se encuentra con las caras en una de cuatro formas simétricas: un cuadrado por puntos medios (

3

planos), un rectángulo por arista (

12

planos), un triángulo por vértice (

8

planos), o un hexágono regular por par de vértices opuestos (

4

planos).

Usarlos todos da el máximo

k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.

La figura completa consta de

24

segmentos cortos y

12

largos. Un plano cuadrado contiene

(0,4),

uno rectangular

(2,2),

uno triangular

(3,0),

y uno hexagonal

(6,0)

segmentos cortos y largos, respectivamente. Demos peso

1

a cada segmento corto y peso

\frac{3}{2}

a cada largo. Cada plano cubre entonces peso a lo sumo

6,

mientras que los segmentos requeridos tienen peso total

24+(\frac{3}{2})12=42.

Así, se necesitan al menos

7

planos. Los

4

planos hexagonales cubren los

24

segmentos cortos y los

3

planos cuadrados cubren los

12

largos, por lo que

k=7

es alcanzable.

La diferencia es

27 - 7 = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

On every face, the required segments join midpoints of edges. A plane cutting the cube meets the faces in one of four symmetric shapes: a square through midpoints (

3

such planes), a rectangle per edge (

12

planes), a triangle per vertex (

8

planes), or a regular hexagon per pair of opposite vertices (

4

planes).

Using all of them gives the maximum

k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.

The full figure consists of

24

short segments and

12

long segments. A square plane contains

(0,4),

a rectangle

(2,2),

a triangle

(3,0),

and a hexagon

(6,0)

short and long segments, respectively. Give each short segment weight

1

and each long segment weight

\frac{3}{2}.

Every plane then covers weight at most

6,

whereas the required segments have total weight

24+(\frac{3}{2})12=42.

Thus at least

7

planes are needed. The

4

hexagon planes cover all

24

short segments, and the

3

square planes cover all

12

long segments, so

k=7

is attainable.

The difference is

27 - 7 = 20.

Thus, the correct answer is C.