2011 AMC 12B Problema 24

Question

Sea

P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4

-(4\sqrt{3}+7).

¿Cuál es el perímetro mínimo entre todos los polígonos de

8

lados en el plano complejo cuyos vértices son exactamente los ceros de

P(z)

?

Let

P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4

-(4\sqrt{3}+7).

What is the minimum perimeter among all the

8

-sided polygons in the complex plane whose vertices are precisely the zeros of

P(z)?

4\sqrt{3}+4

8\sqrt{2}

3\sqrt{2}+3\sqrt{6}

4\sqrt{2}+4\sqrt{3}

4\sqrt{3}+6

Respuesta: B

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Trata

P

como una ecuación cuadrática en

z^4

y factoriza como

(z^4-1)\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big)

.

Treat

P

as a quadratic in

z^4

and factor as

(z^4-1)\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big)

Pista grande:

Como

4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2,

las ocho raíces están sobre dos cuadrados; las aristas más cortas tienen longitud

\sqrt2

.

Since

4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2,

the eight roots lie on two squares; the shortest edges have length

\sqrt2

Solución:

Factorizando en

z^4,

\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}

El primer factor da las raíces

1,-1,i,-i.

Como

4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2

y

2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2,

escribiendo

w=\tfrac12(\sqrt3+1)

las otras cuatro raíces son

w(\pm1\pm i).

Las ocho raíces son simétricas respecto al origen con simetría de orden

4

, y todo segmento que une dos de ellas tiene longitud al menos

\sqrt2.

Por lo tanto cualquier polígono de este tipo tiene perímetro al menos

8\sqrt2,

y el polígono con vértices

1,

w(1+i),

i,

w(-1+i),

-1,

w(-1-i),

-i,

w(1-i)

lo alcanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring in

z^4,

\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}

The first factor gives the roots

1,-1,i,-i.

Since

4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2

and

2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2,

writing

w=\tfrac12(\sqrt3+1)

the other four roots are

w(\pm1\pm i).

The eight roots are symmetric about the origin with

4

-fold symmetry, and every segment joining two of them has length at least

\sqrt2.

Thus any such polygon has perimeter at least

8\sqrt2,

and the polygon with vertices

1,

w(1+i),

i,

w(-1+i),

-1,

w(-1-i),

-i,

w(1-i)

achieves it.

Thus, the correct answer is B.