2011 AMC 12B Problema 19

Question

Un punto de red en un sistema de coordenadas

xy

es cualquier punto

(x, y)

donde

x

y

y

son ambos enteros. La gráfica de

y=mx+2

no pasa por ningún punto de red con

0 \lt x \le 100

para todos los

m

tales que

\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.

¿Cuál es el valor máximo posible de

a

?

A lattice point in an

xy

-coordinate system is any point

(x, y)

where both

x

and

y

are integers. The graph of

y=mx+2

passes through no lattice point with

0 \lt x \le 100

for all

m

such that

\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.

What is the maximum possible value of

a?

\dfrac{51}{101}

\dfrac{50}{99}

\dfrac{51}{100}

\dfrac{52}{101}

\dfrac{13}{25}

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular pendiente

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Para cada

x,

halla la menor pendiente

\gt\dfrac12

desde

(0,2)

que alcance un punto de red en ese

x

.

For each

x,

find the smallest slope

\gt\dfrac12

from

(0,2)

that reaches a lattice point at that

x

Pista grande:

Compara las pendientes mínimas de los casos par

x

e impar

x;

gana la cota más ajustada.

Compare the minimum slopes for even

x

and odd

x;

the tighter bound wins

Solución:

Para

0\lt x\le100,

el punto de red más cercano por encima de la recta

y=\tfrac12x+2

es

\left(x,\tfrac12x+3\right)

si

x

es par y

\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)

si

x

es impar.

La pendiente desde

(0,2)

hasta ese punto es

\dfrac12+\dfrac1x

para

x

par y

\dfrac12+\dfrac{1}{2x}

para

x

impar. La menor pendiente de ese tipo es

\dfrac{51}{100}

para

x

par y

\dfrac{50}{99}

para

x

impar.

Como

\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},

la recta evita todos estos puntos de red exactamente cuando

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},

así que el máximo es

a=\dfrac{50}{99}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For

0\lt x\le100,

the nearest lattice point above the line

y=\tfrac12x+2

is

\left(x,\tfrac12x+3\right)

if

x

is even and

\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)

if

x

is odd.

The slope from

(0,2)

to that point is

\dfrac12+\dfrac1x

for even

x

and

\dfrac12+\dfrac{1}{2x}

for odd

x.

The minimum such slope is

\dfrac{51}{100}

for even

x

and

\dfrac{50}{99}

for odd

x.

Since

\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},

the line avoids all these lattice points exactly when

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},

so the maximum is

a=\dfrac{50}{99}.

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años